Как выглядит диаграмма эйлера венна
Множества в математике
Диаграммы Венна помогают показать связь теории множеств и логических операций. Круги Эйлера, множества чисел и других предметов тесно связаны. Под множеством понимается совокупность каких-то объектов, называемых элементами. В множества можно объединять объекты с общим признаком. Например, множество студентов второго курса университета или множество статей, написанных одним учёным. Можно выделить три вида таких математических объектов:
Группа элементов, составляющая множество, входящее в другое, более обширное множество называется подмножеством. Такое отношение получается между множеством действительных чисел и входящим в его состав подмножеством натуральных чисел.
В курсах информатики и обычно изучаются такие темы как «Введение в математическую логику» и «Поиск информации в Интернет». При решении задач по этим темам помощь оказывают диаграммы Венна. Для их построения можно использовать онлайн-калькулятор. Обозначения операций над множествами, которым должны соответствовать обозначения в калькуляторе:
Калькулятор выдаёт результат и подробное решение с правильным порядком операций при подстановке конкретных множеств.
Кольцом в теории множеств называют непустую систему R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности, то есть при пересечении или операции симметрической разности любых двух множеств обязательно получается множество, входящее в R. Это означает, что для любых элементов A, B из кольца элементы A∩B и A∆B будут лежать в кольце.
Отношения между понятиями
Логические операции, разрешающие доказывать утверждения и делать выводы, основаны на связях и отношениях разных понятий. При классификации понятия делятся на сравнимые, между которыми существуют логические связи и отношения, и несравнимые, которые не имеют связей. К несравнимым относятся, например, «машина» и «квадрат», «озеро» и «клетка». У них нет общих элементов и их нельзя сравнивать.
Рисунок 1
Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия отличаются тем, что имеют хотя бы один общий элемент:
У равнозначных понятий объёмы полностью совпадают. Например, А — писатель Чехов, В — автор пьесы «Вишнёвый сад». Графически тождественность можно представить как два круга, слившиеся в один (Рисунок 1).
Пересекающимися понятиями, или находящимися в отношении перекрещивания, считаются те, объёмы которых совпадают частично. Пример: A — «математик», B — «репетитор»; A — «студент», B — «спортсмен». Часть объёма понятия «математик» входит в объём понятия «репетитор» и наоборот.
Понятия, состоящие в отношении подчинения, содержат одинаковые элементы, а объём подчинённого целиком входит в объём подчиняющего. Например, «млекопитающее» и «коза».
Несовместимыми называют понятия, не имеющие общих элементов:
Соподчинённые понятия имеют общие элементы и вместе входят в родовое понятие, но в их объёмах общие элементы отсутствуют. Например, А — «корова», B — «овца», C — «млекопитающее». Круги A и B необходимо поместить внутри круга, изображающего объём понятия C, но они не смогут пересекаться, так как не бывает млекопитающих, которые были бы и коровой, и овцой одновременно.
Противоположные понятия — это виды одного и того же рода, но одно из них имеет какой-то признак, а другое не обладает им и содержит признак, несовместимый с первым, направленный против него. Таковы A — «большой дом» и B — «маленький дом». Тут в отличие от отношения противоречия возможны предметы, которые не входят ни в A и ни в B. Если общее родовое C — дом, то в его круге будут изображения двух сегментов A и B, расположенных напротив друг друга, а оставшаяся часть должна соответствовать всем остальным домам (средним, меньше средних).
Противоречащими считается категория понятий, у одного из которых есть какой-то признак, а у другого он отрицается. Например, «чёрный» и «нечёрный», «злой» — «незлой». При этом весь массив родственных элементов делится на две части: одни имеют этот признак, а другие — нет.
Решение задач, примеры
Круги Эйлера и как решать сложные логические задачи, используя свойства диаграммы, можно показать на примерах.
Задача 1. Пусть имеется следующее условие: 54 школьника шестых классов занимаются в авиамодельном, музыкальном и танцевальном кружках. Каждый посещает хотя бы один кружок. Музыкой занимаются 32 ученика, 22 — танцами, 34 — авиамоделированием. Участвуют в музыкальном и танцевальном кружках 11 школьников, в музыкальном и авиамоделировании — 21, в танцевальном и авиамоделировании — 12. Сколько учащихся посещают все три кружка?
Рисунок 2
Проект решения предполагает необходимость расписать всех 54 школьников в соответствии с условиями задачи. Известно, что в авиамодельном кружке 34 ученика. Если прибавить к этому число учеников, которые занимаются музыкой, их 32 человека, то получится A ⋃ M, где ⋃ обозначение объединения множеств, будет состоять из 34 + 32… учеников.
Но при взгляде на круги Эйлера (Рисунок 2) становится понятно, что те, кто занимается и музыкой, и авиамоделированием посчитаны дважды. Это область на диаграмме, которая принадлежит и кругу A, и кругу М, таких учеников 21. Значит, объединение множеств A ⋃ M будет 34 + 32 — 21…
Теперь нужно прибавить 22 школьника, занимающихся танцами. A ⋃ M ⋃ T равно 34 + 32 — 21 + 22… Тут опять некоторые ученики оказываются посчитаны дважды. Можно вычесть из общей суммы тех, кто занимается танцами и музыкой — 11 человек и 12 человек, участвующих в авиамодельном и танцевальном кружках одновременно. Функция принимает следующий вид: A ⋃ M ⋃ T будет 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12…
Но при этом школьники, которые посещают все три кружка, оказались отняты дважды. Их число обозначено x и его надо прибавить один раз к имеющейся формуле. Чтобы решить задачу, требуется определить x из полученного уравнения (Рисунок 3).
54 = 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12 + х; откуда следует, что x = 10. Ответ: 10.
Рисунок 3
Задача 2. В школьную библиотеку пришло 30 учеников седьмого класса. Из них 15 человек взяли учебник по алгебре, 12 — по русскому языку, 10 человек не взяли ни одного учебника. Сколько учеников получили учебники по алгебре и русскому языку?
Множества на диаграммах представлены на рисунке 4. В большом круге 30 учеников, внутри двух малых 30 — 10 = 20 человек. По условию задачи 15 учеников получили учебник по алгебре, значит, 20 — 15 = 5 учеников получили только учебник по русскому языку. А в условии говорится, что 12 человек взяли учебник по русскому, то есть 12 — 5 = 7 школьников получили учебники и по алгебре, и по русскому. Ответ: 7.
Рисунок 4
Круги Эйлера часто применяются для решения самых разных задач. Они служат для развития способности к логическому мышлению у дошкольников. Большой раздел задач для школьников может решаться с помощью диаграмм. Многие учёные в своих исследованиях тоже обращаются к этому методу, который повышает наглядность решаемых проблем и помогает в их обдумывании. Использование простых фигур позволяет свести решение любой сложной задачи к символической логике и упростить ход рассуждений. Диаграммы могут применяться и в обычной жизни, например при поиске работы. Пересечение кругов «лучше всего получается», «больше всего нравится делать» и «чем можно заработать», возможно, даст нужный результат.
Диаграмма Венна
Опубликовано 10.06.2020 · Обновлено 14.06.2021
Что такое Диаграмма Венна?
Диаграмма Венна – это иллюстрация, в которой круги используются для отображения отношений между вещами или конечными группами вещей. Перекрывающиеся круги имеют общие черты, в то время как круги, которые не перекрываются, не имеют этих черт.
Ключевые моменты
Понимание диаграммы Венна
Английский логик Джон Венн популяризировал диаграмму в 1880-х годах. Он назвал их кругами Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, создавшего аналогичные диаграммы в 1700-х годах.
Термин диаграмма Венна не появлялся до 1918 года, когда Кларенс Льюис, американский академический философ и возможный основатель концептуального прагматизма, назвал круговое изображение диаграммой Венна в своей книге Обзор символической логики.
Краткая справка
Диаграммы Венна используются с середины 20-го века в классах от уровня начальной школы до вводной логики.
Венн изучал и преподавал логику и теорию вероятностей в Кембриджском университете, где он разработал свой метод использования диаграмм для иллюстрации раздела математики, известного как теория множеств.
Приложения для диаграмм Венна
Диаграммы Венна используются для отображения того, как элементы соотносятся друг с другом на общем фоне, вселенной, наборе данных или среде. Диаграмму Венна можно использовать, например, для сравнения двух компаний в одной отрасли, иллюстрируя продукты, предлагаемые обеими компаниями (где круги перекрываются), и продукты, которые являются эксклюзивными для каждой компании (внешние круги).
Примеры диаграмм Венна
Для иллюстрации фруктов красного или оранжевого цвета можно нарисовать диаграмму Венна. Ниже мы видим, что есть оранжевые фрукты (круг B), такие как хурма и мандарины, а яблоки и вишня (круг A) красного цвета. Перец и помидоры бывают красного и оранжевого цветов, что представлено областью перекрытия двух кругов.
Ниже мы видим, что Car A – это седан, который работает на бензине и имеет скорость 20 миль на галлон, а Car B – гибрид, который имеет 40 миль на галлон за пробег и является хэтчбеком.
Заштрихованная область, где два круга перекрываются, показывают общие черты обоих автомобилей, в том числе радио, 4 двери, возможность Bluetooth и подушки безопасности.
Диаграмма Венна наглядно показывает сходства и различия между двумя автомобилями, чтобы помочь решить, какой из них купить.
Как выглядит диаграмма эйлера венна
Множества на диаграмме Эйлера-Венна и ее практическое применение
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Множества встречаются в различных областях знаний: математике, физике, биологии, химии, лингвистике и т.д. Множества состоят из различных элементов, например, страны, дома, птицы, числа, фигуры, точки и т.д. В математике множество рассматривается в каждой задаче: алгебраические выражения, решение уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств, любые текстовые задачи, функции, расположение множества точек, геометрические задачи, логика, статистика, вероятность и т.д.
При решении большинства задач на множество применяют диаграмму Эйлера-Венна, поэтому данная тема очень актуальна в области математики.
Для достижения цели необходимо выделить следующие задачи исследования:
— изучение понятия множества;
— определение видов множества ;
— рассмотрение действий над множествами;
— изучение диаграммы Эйлера-Венна;
— решение задач на множества с применением диаграммы Эйлера-Венна;
— использование диаграммы Эйлера-Венна при исследовании;
Гипотеза: зная понятие множества и решение их с помощью диаграммы Эйлера-Венна приведет к упрощению решения задач и к сокращению времени на их выполнение, а применение его покажет и докажет востребованность в сравнении и нахождении неизвестного множества.
Объект исследования: Множества.
Предмет исследования: Множества на диаграмме Эйлера-Венна.
1. Теоретические аспекты множества
1.1. Что такое множество?
Впервые изучение бесконечных множеств и множеств в неявной форме рассматривалось ещё в Древней Греции. Затем множества встречались в первых идеях Галилео Галилея, а также в начале 1800-х годов в работах Гаусса как бесконечное множество. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918гг). Его многочисленные работы были опубликованы в период с 1872 года по 1897 год. Георг Кантор говорил, что «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». [1]
Георг Кантор (1845-1918гг) немецкий математик
К сожалению, нет точного определения множества, только описательное объяснение.
Например, в корзине для мячиков есть всего 5 одинаковых мячей, корзина это множество, а 5 одинаковых мячей это мощность множества и запись имеет вид: n ( C ) = 5.
Существует различные виды множеств:
1. Пустое множество – это множество, в котором нет элементов. Например, в кошельке нет денег и обозначается как К ϵ Ø.
2. Конечное множество – это множество, в котором содержится конечное число элементов. Например, количество страниц в книге 96, значит это конечное множество, т.е. К =
3. Бесконечное множество – это множество, в котором бесконечно много элементов. Например, количество чисел в последовательности Фибоначчи, т.е. Ф =
4. Универсальное множество – это множество, в которое входят все множества в качестве подмножества. Например, все числовые множества являются подмножеством действительных чисел или множество точек любой геометрической фигуры это подмножество в множестве всех точек геометрического пространства. Обозначается большой буквой Е. [2]
1.2. Действия над множествами
Над множеством, как и над любым понятием в математике, можно выполнить некие действия. Рассмотрим некоторые действия:
а) A ⋂ B = С в ) A ⋂ B = <С>с ) A ⋂ B = Ø
Рис. 1. Пересечение множеств А и В
Пример, ученики посещают спортивные секции: теннис, борьба, шахматы и верховая езда. Пересечением будет спортсмен, который посещает все секции.
Приведем пример из математики:
1) Даны множества М = <1, 2, 3, 5, 8>и К = <1, 3, 5, 7, 9, 11, 13>. Найти пересечение множеств.
Пересечением множеств М и К: М ⋂ К =
2) Даны множества М = <4, 6, 7, 9, 10>и К = <1, 3, 5, 7, 12, 15>. Найти пересечение множеств.
Пересечением множеств М и К: М ⋂ К =
3) Даны множества М = <14, 16, 18>и К = <1, 3, 5, 7>. Найти пересечение множеств.
Пересечением множеств М и К: М ⋂ К = Ø.
Рис. 2. Объединение множеств А и В
Пример, даны два слова. А множество всех букв слова «компьютер» и В множество всех букв слова «монитор». Найти число букв в объединении множеств А и В.
Объединение множеств А и В: А ∪ В =
Пример из математики: Даны множества М = <1, 2, 3, 5, 8>и К = <1, 3, 5, 7, 9, 11, 13>. Найти объединение множеств.
Объединением множеств М и К: М ∪ К =
3. Дополнение множества В – это новое множество, которое состоит из всех элементов универсального множества А, кроме элементов множества В. Обозначается = А / В. Изображение дополнения на рисунке 3.
Рис. 3. Дополнение множеств А и В
Дополнением множества М: = N / М =
4. Разность множеств А и В – это новое множество, в котором есть элементы первоначального множества А, но нет элементов второго множества В. Обозначается А / В, но А / В ≠ В / А. Изображение разности на рисунке 4.
Пример, даны множества М = <2, 5, 6, 7, 8>и К = <1, 2, 7, 10, 15>. Найти разность множеств.
Разность множеств М и К: М / К =
Разность множеств К и М: К / М = <1, 5, 10, 15>.
Рис. 4. Разность множеств А и В
Рассмотрено четыре основных действий над множествами, которые будут необходимы для раздела практического применения. [3]
1.3 Диаграмма Эйлера-Венна
Диаграммы Эйлера и Венна применяются при решении задач для наглядного представления о множествах и действиях над ними. В данную диаграмму объединены круги Эйлера и диаграмма Венна (рис.5). Для начала расскажем об авторах данных диаграмм, а затем разберемся, в чем же эти круги одинаковы и в чем их различие.
Рис. 5. Леонард Эйлер и Джон Венн
Леонард Эйлер (1707-1783) математик, механик, физик, астроном, внесший большой вклад в развитие мировой науки. Эйлер впервые собрал в единую систему алгебру, анализ, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины, а также сделал собственные открытия. Он написал более 850 работ по различным отраслям.
Джон Венн (1834-1923) английский математик и логик, известный как изложивший графический метод решения логических задач и расширивший математическую логику Джорджа Буля. Джон Венн является автором книги «Символическая логика», изданная в Лондоне в 1881г.
Диаграммы Венна и Эйлера очень схожи, так как основаны на теории множеств. Если же внимательно изучить данные диаграмм, то можно найти различие между ними. Это различие очень тонкое, делающее диаграммы уникальными. Диаграмма Венна показывает различные логические взаимоотношения между множествами, а диаграмма Эйлера также показывает эти взаимоотношения, но только те которые существуют в реальной действительности. Приведем пример для такого различия.
Пример 1. Подмножеством трех видов растений возьмём водоросли, мхи и папоротники (таблица 1). Найди комбинации пересечений.
Таблица 1. Виды растений
Задачу решим с помощью диаграммы Венна (рис.6а) и диаграммы Эйлера (рис.6в).
Из данных диаграмм видно, что круги в диаграмме Эйлера не пересекаются, так как данная диаграмма показывает только допустимые в реальной действительности комбинации, т.е. папоротники не могут быть мхами, а мха не может быть водорослью.
Рис. 6а. ДиаграммаДжона Венна
Рис. 6в. Диаграмма Леонард Эйлер
По высказыванию Джона Венна любые комбинации, даже если они не могут существовать в реальном мире, но в диаграмме Венна круги пересекаются. Поэтому некоторые задачи, решенные диаграммой Венна, переводят на диаграмму Эйлера.
Рассмотрим другой пример с колодой карт.
Пример 2. Дана колода карт. Необходимо составить композицию из подмножеств: красных карт, черных карт и крести.
Диаграмма Венна Диаграмма Эйлера
Рис. 7. Различие диаграмм Эйлер и Венна
Из этих диаграмм видна разница между всеми возможными и реальными комбинациями (рис.8). Круги в диаграмме Эйлера не пересекаются, так как черные и красные карты не имеют общих характеристик, а карты крести входят как подмножество в колоду черных карт. В диаграмме же Венна круги с черными, красными и крести колодами представляют четыре пересечения, но не имеют связи с реальностью. На этом примере также убеждаемся в разнице между диаграммами Эйлера и Венна. [4]
Делаем вывод: диаграмма Эйлера и диаграмма Венна по своей структуре похожи, но более достоверную, правильную информацию получаем из диаграммы Эйлера, так как она связывает различные задачи на понимание и применение окружающей нас действительности и реальной жизни.
Теория по понятию множества, действий над множествами, диаграмма Эйлера-Венна разобраны. Перейдем к практической части и решим несколько задач на множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
2. Решение практических задач
Для решения практических задач на множества рассмотрим решение пяти задач с применением в математике и связанные с различной сферой деятельности.
а) сколько учеников предпочитают предметы английский язык и математику;
б) нравится только математика из количества учеников предпочитающих математику вместе с английским языком;
в) нравится только английский язык из количества учеников предпочитающих и английский язык и литературу;
г) нравится математика и литература;
д) не нравится математика, но увлекается литературой и английским;
Составим диаграмму Эйлера-Венна. Возьмём 3 пересекающихся круга, так как всего выбранных предметов 3 – математика, английский язык, литература и количество учеников выбравших 1, 2, 3 предмета разное. Ниже на рисунке 8 приведена диаграмма.
Рис. 8. Диаграмма выбор а предмета
а) используя данные построенной диаграммы найдем сколько учеников предпочитают предметы английский язык и математику, т.е. английский язык и математику выбирают 3 ученика, а всего учеников 45.
Значит отношение 3 : 45 = 6,67%
б) нравится только математика из количества учеников предпочитающих математику вместе с английским языком, найдем как отношение 3 : 3 = 100%.
в) нравится только английский язык из количества учеников предпочитающих и английский язык и литературу, найдем как отношение 6 : 26 = 23,07%
г) нравится математика и литература, найдем как отношение 4 : 45 = 8,89%
д) не нравится математика, но предпочитает литературу и английский язык, найдем как отношение 5 : 45 = 11,11%
Рис. 9а. А / (В ∪ С) ∪ (В ∩ С) Рис. 9в. А / (В ∪ С) ∪ В / (А ∪ С) ∪ (В ∩ С)
Рис. 9с. ( A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (( A ∩ C )/( D ∪ B )) ∪ (( D ∩ C )/( B ∪ A )) ∪ (( B ∩ D )/( A ∪ C )) ∩ (( A ∩ B )/( D ∪ C ))
Во всех соц сетях 2 чел.
Значит, 37 – 4 – 6 – 5 – 3 – 6 – 5 – 2 = 6 чел. только Whatsapp
Вконтакте и Instagram – 3 чел.,
Во всех соц сетях 2 чел.
Значит, 44 – 4 – 7 – 3 – 3 – 4 – 5 – 2 = 16 чел. только Вконтакте
Во всех соц сетях 2 чел.
Значит, 29 – 6 – 3 – 5 – 3 – 4 – 6 – 2 = 0 чел. только Instagram
Во всех соц сетях 2 чел.
Значит, 35 – 5 – 7 – 5 – 4 – 6 – 5 – 2 = 1 чел. только Facebook
Найдём количество людей не зарегистрированных в предложенных соц сетях:
Общее количество человек 100
Вконтакте и Instagram – 3 чел.,
Instagram и Facebook – 5 чел.,
Whatsapp- Вконтакте- Instagram – 3 чел.,
Facebook-Whatsapp-Instagram – 6 чел.,
Whatsapp- Вконтакте- Facebook – 5 чел.,
Во всех соц сетях 2 чел.
Ответ: 27 человек не зарегистрированы в предложенных соц сетях
При решении этой задачи с помощью диаграммы Эйлера-Венна успрощается процесс вычисления. Зарисуем диаграмму и внесем все данные по этой задаче на рисунке 10.
Рис. 10. Диаграмма р егистр ации в различных соцсетях
Ответ: 27 человек не зарегистрированы в предложенных соц сетях
Задача 4. В Казахстане самые популярные книги казахских писателей:
Самые популярные книги зарубежных авторов:
Количество людей, которые прочитали:
— первую и вторую книгу 31 382 читателя,
— первую и третью – 32 596 читателей,
— первую и четвертую – 19 848 читателя,
— вторую и четвертую – 12 130 читателей,
— третью и четвертую – 21 364 читателя,
— первую, вторую и третью – 34 828 читателя,
— первую, вторую и четвертую – 12 643 читателя,
— вторую, третью и четвертую – 31 543 читателя,
— первую, третью и четвертую – 23 456 читателей,
— все книги – 7 543 читателя.
a ) Сколько процентов составляет людей, которые прочитали первую и третью книгу от тех, кто читал только вторую книгу?
b ) Сколько процентов составляет людей, прочитавших только одну книгу от тех кто прочитал две книги?
c ) Какая самая популярная книга?
d ) Сколько процентов составляет людей, которые прочитали только одну книгу; две книги; три книги и четыре книги?
Для решения данного задания построим диаграмму Эйлера-Венна и найдем количество читателей, которые прочитали только одну книгу (рис.11).
Рис. 11. Диаграмма популярны х книг в Казахстане
Теперь можно ответить на вопросы данной задачи:
b ) Найдем количество людей, которые прочитали две книги и людей, которые прочитали только одну книгу.
31 382 + 32 596 +19 848 + 21 821 + 12 130 + 21 364 = 139 141 читатель
31 335 + 33 867 + 4 268 + 28 436 = 97 906 читателей
Значит, это соотношение равно:
d ) Количество человек участвовавших в опросе:
31 335 + 31 382 + 33 867 + 4 268 + 32 596 + 34 828 + 21 821 + 21 364 + 23 456 +
7 543 + 31 543 + 28 436 + 19 848 + 12 643 + 12 130 = 347060 человек
прочитали только одну книгу:
Задача 5. На диаграмме показано, сколько человек имеют брендовые сотовые телефоны X iaomi, Samsung, H uawei, I phone. (рис 12)
1) Буквы можно заменить числами, решив следующие задания:
А. Найди дискриминант уравнения: 5х² + 60х – 14,9 = 0
2) Определи, к какому множеству относится данные бренды телефонов, если известно, что:
a ) найди количество людей, которые имеют все четыре вида телефона на 1203 меньше чем те, которые имеют только два вида телефона H uawei и I phone;
b ) найди количество людей, которые имеют три вида телефона I phone, X iaomi, H uawei на 427 больше чем те, которые имеют три иные вида телефона X iaomi, I phone, Samsung.
Рис. 12. Количество брендовых сотовых телефонов
Решение Найдем значения букв для дальнейшего использования диаграммы (рис. 12а)
А. Найди дискриминант уравнения:
3 000 – 9 · 11 = 2901
a ) количество людей, которые имеют все четыре вида телефона – 1698, те, кто имеют только два вида телефона H uawei и I phone – 2901. Значит, можно определить два множества с телефонами H uawei и I phone, но точно указать какое множество пока невозможно;
Значит, принимая во внимание а) и b ) можно определить порядок слева на право: Samsung, X iaomi, H uawei, I phone (рис. 12в).
Рис. 12в. Брендовые сотовые телефоны
В практической части разобраны пять различных авторских задач на множество. С помощью диаграмм Эйлера-Венна даны подробные, наглядные решения задач.
3. Диаграмма Эйлера-Венна в исследовании
Исследование проведено среди учащихся 7-9 классов. В исследовании участвовали 155 учеников. Анкета состоит из 7 различных вопросов (приложение 1). Разберем каждый вопрос в отдельности и сделаем выводы.
1 вопрос: Какой напиток пьете по утрам?
Ответы: только чай пьют 63 ученика, только кофе – 36, и чай, и кофе – 53, другое – 21. Если сложить эти числа, то получим:
63 + 36 + 53 + 21 = 173 ученика
Значит, некоторые ученики ответили на вопрос анкеты, выбрав два или более ответа. В дополнительных сведениях можно найти, кто сделал более одного выбора в ответах.
Рис. 13. Диаграмма выбора напитка
Из этой диаграммы видно, что учащиеся больше всего предпочитают напиток «чай», что составляет 112 учеников или 72%. [5]
2 вопрос: Каким видом спорта занимаешься?
14 + 20 + 18 + 119 = 171 ученик
В дополнительных сведениях:
Рис. 14. Диаграмма по увлечению спорта
Вычислим, сколько учащихся не занимается спортом:
155 – (10 + 15 + 8 + 67 + 1 + 2 + 4 + 5 + 1 + 2) = 40 учеников или 26%.
3 вопрос: Какие языки знаешь в совершенстве?
95 + 138 + 46 + 2 = 281 ученик.
Определим, наибольшее количество учащихся, которые в совершенстве знают два языка (рис. 15).
Рис. 15. Диаграмма знания языка
В дополнительных сведениях:
Определим количество учеников, которые владеют двумя языками:
казахский и русский язык:
54 + 30 + 2 = 86 учеников
казахский и английский язык:
30 + 2 +1 = 33 ученика
русский и английский язык:
30 + 5 + 2 = 37 учеников
Значит, 86 учеников в совершенстве владеют казахским и русским языком.
5 вопрос: Каков Ваш любимый цвет?
23 + 26 + 29 + 116 = 194 ученика.
Сравним, процент учащихся, которые выбрали только один цвет с теми, кто выбрал два и более цвета (рис. 16).
Рис. 16. Диаграмма выбор а цвета
В дополнительных сведениях:
Учащиеся, которые выбрали только один цвет:
10 + 11 + 12 + 94 = 127 ученик
выбрали два и более цвета:
1 + 3 + 7 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 3 + 4 = 28 учеников
Сравним, процент учащихся, которые выбрали только один цвет с теми, кто выбрал два и более цвета:
Значит, процент учащихся, которые выбрали только один цвет больше на 64% (99 ученика), чем учащихся, выбравших два и более цвета.
6 вопрос: Где проводишь летние каникулы?
95 + 138 + 46 + 2 = 281 ученик.
Сравним, количество учащихся, которые отдыхают на летних каникулах в разных местах (рис. 17).
Рис. 17. Диаграмма проведения летних каникул
В дополнительных сведениях:
Количество учащихся, которые проводят летние каникулы только в одном месте:
8 + 69 + 3 + 16 = 96 учеников
14 + 17 + 3 + 3 + 3 = 40 учеников
1 + 8 + 9 + 1 = 19 учеников
Если сравнить полученные данные, то видно, что летние каникулы ребята проводят в основном в одном месте – 62%, в двух местах проводят – четверть учащихся, в трех местах самое меньшее количество учащихся – 12%.
Из данного исследования, следует, что в вопросах 1, 2, 3, 5, 6, проведен анализ ответов учащихся, дан ответ на поставленный актуальный вопрос и показана диаграмма Эйлера-Венна. На 4 и 7 вопрос учащиеся ответили только одним ответом, поэтому пересечения кругов Эйлера-Венна нет.
Первый вопрос актуален для организаций общественного питания, можно предложить для кафе, ресторанов при составлении меню, выяснить не только кофе или чай предпочитают посетители, но и какую еду больше употребляют жители.
Второй вопрос о спорте, необходим при выборе открытия или проведения той или иной секции в комплексах, регионах, областях и т.д. Третий вопрос можно использовать при открытии каких-либо языковых центров и т.д. Эти два вопроса переплетаются.
Пятый вопрос актуален в психологии, где можно применить круги Эйлера-Венна при определении характера, темперамента и других качеств человека.
Шестой вопрос как проводить каникулы школьникам можно порекомендовать школам, колледжа, институтам. Чтобы организовать путевки в различные места, так как ученики в основном находятся в своем городе и редко посещает новые. Если школьники будут посещать различные лагеря отдыха, курорты и путешествовать, то у учеников повыситься интерес к изучению увлекательных и познавательных мест планеты.
Вывод: применение диаграммы Эйлера-Венна расширяет спектр данных, по сравнение с графиками и различными диаграммами.
Для наглядности предоставляю макет диаграммы Эйлера-Венна, состоящий из 3 множеств (рис.18).
Макет изготовлен на 3 D принтере, где видно как пересекаются множества друг с другом в 3 D пространстве.
В математике используют различные понятия, такие как числа, функция, геометрические фигуры и т.д. Все это является множеством. Множество это фундамент математики. Множество представляет какое-то количество предметов, объектов, но кроме этого множеством обозначают и объекты, состоящие из одного или вообще не имеющего количества предметов.
Данная работа состоит из трех частей: теоретической, практической и исследовательской.
В начале изучил теоретические аспекты множеств: историю множеств, понятие множества, из каких элементов может состоять множество, какие есть виды множеств (пустое, конечное, бесконечное, универсальное), какие действия можно осуществлять над множествами (п ересечение множеств (произведение), объединение множеств (сложение), д ополнение множества, разность множеств). Также при изучении теории множеств определил различие между кругами Эйлера и кругами Венна.
Изучение теории множеств привела к такой мысли: какие же задачи можно составить на множества с использаванием диаграммы Эйлера-Венна. При решении некоторых задач на множество удобно применять диаграмму Эйлера-Венна, в особенности задачи имеющее большие по объему решения. Диаграмма наглядно представляет все действия над множеством. В практической части разобраны авторские задачи, которые решаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна. В решении задач применяются диаграммы не только состоящие из 3 кругов, но и из 4 кругов.
Проведено анкетирование для исследовательской работы. Вопросы анкеты составлены для учащихся 7-9 классов. Анализ ответов 155 учеников изображался на диаграммах Эйлера-Венна, где можно было видеть развернутое представление об ответах учащихся. По данным диаграммам можно видеть сколько выборов сделали ученики, отвечая на вопросы, что интересует их больше всего или сколько учащихся ни чем не заинтересованы. Подводя итоги исследовательской работы предоставлены выводы по каждому вопросу и показаны применения диаграммы Эйлера-Венна в различных сферах деятельности.
Изготовлен макет на 3 D принтере для наглядного представления понятия множества.
Вывод: решение задач на множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна сокращает ход решения, а наглядность диаграммы дает более быстрый ответ на вопрос задачи по сравнению со стандартным решением.
Список использованной литературы
1. Электронная еврейская энциклопедия, 1988. Том 4, с.80
3. С.А.Ануфриенко Введение в теорию множеств и комбинаторику. Учебное пособие. – Екатеринбург: УрГУ, 1998, с.62
Результаты анкетирования среди учащихся 7-9 классы