Как перевести в другую систему счисления

Перевод из любой системы счисления в любую

Для перевода чисел из одной системы счисления в любую другую, воспользуемся соответствующим алгоритмом. Важно заметить, что алгоритм перевода целых и дробных чисел будет отличаться.

Алгоритм перевода из произвольных чисел в любую систему счисления

Подробно о переводе в десятичную систему смотрите на этой странице, о переводе из десятичной в q-ричную- здесь. Для целостного понимания, разберем несколько примеров, но для начала вспомним алфавиты в популярных системах счисления:

Перевод целого q-ичного числа в систему счисления с новым основанием

Пример 1: перевести число 1101100 из двоичной в троичную систему.

Как было сказано выше, необходимо сначала перевести число в десятичное, а полученный ответ в троиную. Решение будет выглядеть следующим образом:

Для перевода шестнадцатеричного числа 1a316 в десятичную систему, воспользуемся формулой:

1101100₂=1 ∙ 2 6 + 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 1 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 1 + 0 ∙ 2 0 = 1 ∙ 64 + 1 ∙ 32 + 0 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 0 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 108₁₀

Полученное число 108 переведем из десятичной системы счисления в троичную. Для этого, осуществим последовательное деление на 3, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 3.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

Пример 2: перевести число 345 из шестеричной в восьмеричную систему.

Аналогично предыдущему примеру произведем вычисления:

345₆=3 ∙ 6 2 + 4 ∙ 6 1 + 5 ∙ 6 0 = 3 ∙ 36 + 4 ∙ 6 + 5 ∙ 1 = 108 + 24 + 5 = 137₁₀

Полученное число 137 переведем из десятичной системы счисления в восьмеричную. Для этого, осуществим последовательное деление на 8, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 8.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

Перевод любого дробного числа из одной системы в другую

Пример 3: перевести 231.20 из четверичной в семеричную систему счисления.

Общий смысл алгоритма перевода дробного числа, аналогичен алгоритму перевода целого, т.е. вначале переводим в десятичную, а затем в семеричную:

1. Для перевода числа 231.20 в десятичную систему воспользуемся формулой:

Обратите внимание! Формула перевода дробного числа в десятичную систему, очень похожа на формулу перевода целого, однако немного отличается.

2. Полученное число 45.5 переведем из десятичной системы счисления в семеричную. Т.к. полученное число содержит дробную часть, нам потребуется перевести вначале целую часть, а затем дробную. Таким образом необходимо:

2.1 Для того, чтобы перевести число 45 из десятичной системы счисления в 7-ую, необходимо осуществить последовательное деление на 7, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 7.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

2.2 Для перевода десятичной дроби 0.5 в 7-ую систему, необходимо выполнить последовательное умножение дроби на 7, до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не будет достигнута заданная точность вычисления. Получаем:

0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)
0.5 ∙ 7 = 3.5 (3)

Ответом станет прямая последовательность целых частей произведения. Т.е.

2.3. Осталось соединить переведенные части, таким образом:

Источник

Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку «Перевести». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0. 0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

Источник

Урок 32. Перевод чисел между системами счисления

Общие сведения:

При программировании мы часто сталкиваемся с необходимостью перевода чисел между системами счисления, по основанию: 2, 4, 8, 16 и 10.

Основание системы счисления указывает какое количество цифр используется в этой системе для написания чисел:

Можно использовать любую систему счисления, например по основанию 12 (счет дюжинами), но наиболее популярными при программировании, являются: десятичная, шестнадцатеричная и двоичная, системы счисления.

Все выше перечисленные системы счисления относятся к позиционным системам. Значение числа зависит не только от того из каких цифр оно состоит, но и в какой последовательности они записаны. Например число 1234 не равно числу 4321.

Методы представления чисел в разных системах счисления:

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно сложить все цифры этого числа, предварительно умножив каждое из них на основание системы счисления, из которой производится перевод, возведя её в степень соответствующую позиции цифры в числе:

Σ(цифра_числа * основание_системы позиция_цифры )

Примеры перевода чисел в десятичную систему счисления:

Перевод чисел из десятичной системы счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, необходимо целочисленно делить переводимое число на основание той системы, в которую мы хотим его перевести, до тех пор пока результат целочисленного деления не станет равен 0. Результатом перевода будут цифры остатка от каждого деления, в обратном порядке.

Примеры перевода чисел из десятичной системы счисления:

Простой метод перевода:

Легче всего переводить числа через двоичную систему счисления. О том как это сделать рассказано в нашем видеоуроке.

Источник

Алгебраическая конкатенация и её возможности по переводу чисел между системами счисления

Алгебраическая конкатенация

Для начала, еще раз, распишем, что такое «Алгебраическая конкатенация».

Для примера возьмем число 10958 и представим его с операцией конкатенации, а именно: 1‖0‖9‖5‖8 = (((1 * 10 + 0) * 10 + 9) * 10 + 5) * 10 + 8.

Т.е операция «конкатенации» это: a ‖ b = (a * 10) + b; Но 10 — это «хитрое» число… Это число следующие за максимальным в системе счисления, ну т.е. это просто основание системы счисления т.е. общий вид такой:

a ‖ b = (a * m) + b, где m – основание системы счисления представленное в обозначении самой системы.

Но такое определение мне не очень нравится, ибо m больше чем возможные числа внутри системы. Давайте сделаем чуть хитрее.

, где m_1 — это целое число означающее 1 в системе счисления, а m^k — основание системы счисления. Вот теперь получилось красиво с точки зрения определения, но
a ‖ b = (a * 10) + b – легче для восприятия.

Давайте, на всякий случай, проверим, что действительно это работает и пересчитаем описанные выше операции на 10958.

Двоичная: 10 1010 1100 1110 = 1‖0‖1‖0‖1‖0‖1‖1‖0‖0‖1‖1‖1‖0 = ((((((((((((1 * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 1) * 10 + 0) * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 1) * 10 + 1) * 10 + 0

Восьмеричная: 25316 = 2‖5‖3‖1‖6 = (((2 * 10 + 5) * 10 + 3) * 10 + 1) * 10 + 6

Шестнадцатеричная 2ACE = 2‖A‖C‖E = ((2 * 10 + A) * 10 + C) * 10 + E

И тут кроется собственно фокус быстрого перевода чисел из одно системы счисления в другую.
Причем на ней сохраняются свойства обычной конкатенации:

1) Операция конкатенации неассоциативна.

То есть, если нужно выполнить конкатенацию трёх цифр, то от расстановки скобок результат изменится: ( 1 ‖ 2) ‖ 3 = 123, и в то же время 1 ‖ ( 2 ‖ 3 ) = 33.

2) Операция конкатенации некоммутативна.

В самом деле, wiki ‖ media = wikimedia, но media ‖ wiki = mediawiki ≠ wikimedia. От перестановки операндов меняется результат операции, что и означает её некоммутативность.

3) Пустое слово — ε, — является нейтральным элементом (единицей) операции конкатенации.
То есть, если ε— пустое слово, то для любого слова α выполнено равенство: ε ‖ a = a ‖ ε = a

4) Длина (количество букв) конкатенации слов равна сумме длин операндов:
|α ‖ β| = |α| + |β|.

Классический способ смены системы счисления

Но для начала рассмотрим классический способ перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную. Для это используется операция деления и взятие остатка от деления.

Для примера возьмем 672 и переведем его восьмеричную систему счисления.

А перевод числа 934 в шестнадцатеричную систему счисления выглядит так.

Количество тактов по расчету чисел здесь довольно больше.

Более того перевод целого числа в систему счисления с новым основанием всегда делается через десятичную систему счисления. Т.е. число из исходной системы счисления загоняем в десятичное, а потом это число из десятичное систему счисления переводим в финальную систему счисления.
Как-то очень муторно…

Есть конечно таблицы триад и тетрад. Которые позволяют переводить числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную. Но это всё.

Смена системы счисления через алгебраическую конкатенацию

Вчера удалось понять, что операция «алгебраической конкатенации» позволяет нам упростить перевод до базового умножения. И переводить из любой системы счислению в любую другую без промежуточного звена, но нам потребуется пара таблиц-представлений.

Таблица 1 – представление цифр в разных системах счисления:

По горизонтали мы видим здесь представление числа в разных система счисления, а по вертикали указана основание системы счисления.

Далее распишем как выглядят основания одной системы счисления в другой системе счисления. Т.е. размерность системы в представлении другой системы. Например, основание десятичной системы счисления в шестнадцатеричной выглядит так:

Таблица 2 – множители основания системы в разных система счисления.

По горизонтали здесь исходная система счисления, а по вертикали – та, в которую хотим перевести.

Получается, чтобы перевести число 934 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную мы просто берем числа из таблицы.
9‖3‖4
= (9 * 10 + 3) * 10 + 4 — запись в десятичной системе
= (9 * A + 3) * A + 4 — здесь и далее уже шестнадцатеричная система
= (5A + 3) * A + 4
= 5D * A + 4
= 3A2 + 4
= 3A6

Возьмем еще одно число, на этот раз в двоичной системе счисления 1101011, и попробуем получить восьмеричную, потом десятичную и обратно в двоичную
1101011
= 1‖1‖0‖1‖0‖1‖1 — запись в двоичной системе
= (((((1 * 10 + 1) * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 0) * 10 + 1) * 10 + 1 — запись в двоичной системе
= (((((1 * 2 + 1) * 2 + 0) * 2 + 1) * 2 + 0) * 2 + 1) * 2 + 1 — восьмеричная система
= 153 — восьмеричная система
= 1‖5‖3
= (1 * 10 + 5) * 10 + 3 — восьмеричная система
= (1 * 8 + 5) * 8 + 3 – в десятичной системе
= 107 – в десятичной системе
= 1‖0‖7 – в десятичной системе
= (1 * 10 + 0) * 10 + 7 – в десятичной системе
= (1 * 1010 + 0) * 1010 + 111- запись в двоичной системе
= 1101011 — запись в двоичной системе.

Собственно, этим можно заниматься весь день.

Тут нужно понимать, что операции, которые мы выполним над это строкой уже делаются в указанной системе счисления, поэтому и результат будет отличаться.

Вывод

По сути мы получили универсальную систему перевода целых чисел. В которой не нужно ни деление и взятие остатков. И даже перевода во вспомогательную систему счисления.
Но нужно будет подумать над дробной частью, что-то сходу она мне не поддалась…

Я поискал в сети способы перевода одной системы в другую, но что-то везде всё упирается во взятие остатков, а прямого перевода через умножение я так и не нашел. Может плохо искал?
Ведь по факту, с точки зрения визуального представление, — это просто смещение числа по разрядам и всё… Странно как-то, что нет описания такого просто решения… Ибо больше напоминает математический фокус, чем что-то новое и необычное. В чем я не прав? Жду ваших замечаний.

Источник

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Источник