Как оценить значение выражения неравенства

Как оценить значение выражения неравенства

Свойство 1.

Если а>b и b > с, то а > с.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т, е. числовую прямую. Неравенство а > b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с.

Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности (образно говоря, от пункта а мы добираемся до пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

Свойство 2.

Если а > b, то а + с > b + с.

Свойство 3.

— а Ь, то — а b и с > d, то а + с > b + d.

Доказательство.

а + с > b + d.

II способ. Так как а> b, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.

Итак, a + c > b + c, b + c > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.

Свойство 5.

Если а, b, с, d — положительные числа и a > b, с > d, то ас > bd.

Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bс. Аналогично, так как с > d и b > 0, то cb > db.

Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств.

Пример 1.

Пусть а и b — положительные числа и а > b Доказать, что

Решение. Рассмотрим разность Имеем

Пример 2.

Пусть а — положительное число. Доказать, что

Решение. Рассмотрим разность Имеем

Получили неотрицательное число, значит,

Заметим, что если a = 1; если же а ≠ 1, то

Источник

Как оценить значение выражения? Методы получения оценок, примеры

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. По ходу будем приводить решения характерных примеров.

Что значит оценить значение выражения?

Нам не удалось найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под оценкой значения выражения. Попробуем сами разобраться с этим, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все же содержатся в учебниках и в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Давайте посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Приведем несколько цитат:

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим:

…

После этого поясняющего примера следует ряд заданий. Запишем два из них.

В двух первых примерах фигурируют оценки чисел и числовых выражений. Там мы имеем дело с оценкой одного единственного значения выражения. В остальных примерах фигурируют оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, понятно, является подмножеством области допустимых значений) соответствует свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X ) не состоит из единственного числа, то выражению с переменной отвечает множество значений выражения. В этом случае приходится говорить про оценку не одного единственного значения, а про оценку всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X ). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X ).

За рассуждениями мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, что значит оценить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом деле, и позволяют принять два следующих определения:

Оценить значение числового выражения – это значит указать числовое множество, содержащее оцениваемое значение. При этом указанное числовое множество будет оценкой значения числового выражения.

Оценить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X ) – это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые принимает выражение на ОДЗ (или на множестве X ). При этом указанное множество будет оценкой значений выражения.

Несложно убедиться, что для одного выражения можно указать не единственную оценку. Например, числовое выражение можно оценить как , или , или , или , и т.д. Это же касается и выражений с переменными. Например, выражение на ОДЗ можно оценить как , или , или , и т.д. В связи с этим в записанные определения стоит добавить уточнение, касающееся указываемого числового множества, представляющего собой оценку: оценка не должна быть абы какой, она должна отвечать целям, для которых ее находят. Например, для решения уравнения подходит оценка . Но эта оценка уже не подходит для решения уравнения , здесь значения выражения нужно оценить иначе, например, так: .

В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно, оценки записываются при помощи неравенств. Вы наверняка это и так заметили.

Оценка значений выражения и оценка значений функции

По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить про оценку значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если при этом иметь в виду функции, заданные формулами, ведь оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по сути есть одно и то же, что очевидно. Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать именно в терминах оценки значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения проводится через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.

Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

В школе подробно изучаются основные элементарные функции, их свойства и графики. В частности, нам хорошо известны области значений этих функций. Их, естественно, можно использовать в качестве оценок значений соответствующих функций и отвечающих им выражений. Давайте запишем наиболее часто используемые на практике результаты:

Вы наверняка заметили, что мы записали оценки значений не всех основных элементарных функций. Например, в приведенном списке нет оценки значений логарифмической функции. Дело в том, что область значений логарифмической функции есть множество всех действительных чисел, и от оценки −∞ мало практического толка. Не вошедшие в список функции интересны в плане оценки не на всей их области определения, а на некоторых более узких множествах. Об этом мы поговорим чуть позже.

Оценка значений функции y=|x|

Метод оценки значений выражений на базе свойств числовых неравенств

В двух предыдущих пунктах мы, можно сказать, собирали исходные данные – простейшие оценки. Теперь можно переходить к методам, позволяющим оперировать простейшими оценками с целью получения оценок значений более сложных выражений и функций.

Первый метод получения оценок, который мы рассмотрим, опирается на свойства числовых неравенств. Он состоит в выполнении действий над простейшими оценками по правилам, аналогичным правилам выполнения действий с верными числовыми неравенствами. Давайте разбираться с этими правилами. Будем формулировать их в виде утверждений, и приводить примеры их применения.

На менее формальном языке это утверждение звучит так: к обеим частям справедливой оценки значений выражения можно прибавить одно и то же число или из обеих частей оценки можно отнять одно и то же число.

Оцените значение выражения x 6 −7

Разобранное утверждение, как, впрочем, и все описанные ниже, можно распространить на оценки в виде двойных неравенств, ведь, по сути, двойное неравенство есть система двух обычных неравенств. Разберемся с этим на примере.

Оцените значения выражения sinx+0,5

Переходим к следующим утверждениям. Их будем давать без доказательств. Оправдаем это тем, что по сути эти доказательства такие же, как доказательство предыдущего утверждения, они отличаются лишь используемыми в них свойствами числовых неравенств. Например, в доказательстве следующего утверждения участвует свойство умножения обеих частей верного числового неравенства на одно и то же положительное число.

Другими словами, если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X ) оценки умножить на одно и то же положительное число, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X ) оценка; если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X ) оценки умножить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X ) оценка.

Укажите оценки значений следующих выражений:

а)

Оцените значения выражения:

а)

б)

Оцените значения выражения

Покажем, как это делается при решении характерного примера.

Оцените значения выражения

Переходим к следующему утверждению, в основе которого лежит свойство сложения верных числовых неравенств одинакового смысла.

Запоминать эти утверждения удобно в упрощенных формулировках. Так нужно понимать два момента. Первый: справедливые на множестве X оценки одного смысла можно почленно складывать, что дает новую справедливую на множестве X оценку того же смысла. Второй: если одна из складываемых оценок имеет знак строгого неравенства, а вторая – нестрогого, то полученная в результате сложения оценка будет иметь знак строгого неравенства.

Оцените значения следующих выражений:

а)

б)

в)

Переходим к утверждению, которое базируется на свойстве умножения числовых неравенств одного смысла.

Для себя запоминаем эти утверждения в упрощенных формулировках. Если выражения f(x) и g(x) на множестве X принимают только положительные значения, то можно умножать оценки значений этих выражений одного смысла. Если оценка хотя бы одного из этих выражений имеет знак строгого неравенства, то оценка произведения также будет иметь знак строгого неравенства.

Естественным образом эти утверждения распространяются на произведение трех и большего количества оценок.

Рассмотрим, как все сказанное реализуется на практике.

Оцените значения произведений:

а)

б)

в)

Оцените значения выражения

Если выражение f(x) принимает и положительные, и отрицательные значения, то возведение оценки в четную степень стоит проводить отдельно для положительных и отдельно для отрицательных значений, после чего объединить результаты.

Оцените значения выражения:

в)

Оценка значений функции y=f(g(x)) через оценку значений функции y=f(x)

Сейчас мы разберем метод, позволяющий по известной оценке значений функции y=f(x) указать оценку значений сложной функции y=f(g(x)) (или соответствующего выражения f(g(x)) ).

В основе этого метода лежит следующее утверждение:

Приведем примеры. Мы знаем, что . Эта оценка вместе с доказанным выше утверждением позволяет нам утверждать, например, что или . Здесь уместны упрощенные рассуждения: так как принимает только неотрицательные значения, то и . Еще пример. Нам хорошо известна оценка . Ее использование вкупе с доказанным выше утверждением дает возможность указать оценки значений, например, таких выражений и . Имеем и

Рассмотрим решение более сложного примера.

Оцените значения выражения

В заключение скажем, что хотя рассмотренный метод получения оценок очень хорош своей простотой, но часто полученные с его помощью оценки оказываются довольно грубыми и непригодными для решения определенных задач. Например, полученная с его помощью оценка не подходит для решения уравнения . Для получения более точных оценок приходится прибегать к другим методам оценивания значений.

Учет ОДЗ при получении оценок значений выражений

Нужно ли при оценивании значений выражения учитывать ОДЗ для этого выражения? По умолчанию все манипуляции над выражением мы проводим на ОДЗ. То есть, даже если мы не находим ОДЗ и не оговариваемся про нее при решении какой-либо задачи, все равно мы находимся в ее рамках. Это касается и задачи получения оценки значений выражения.

На практике довольно часто нет нужды в отдельном нахождении ОДЗ при получении оценки. Например, выше мы записали оценку . При этом мы ни словом не обмолвились про ОДЗ. Это можно расценивать так: записанная оценка справедлива на всей области допустимых значений переменной x для выражения . Аналогично, нам не обязательно озадачиваться нахождением ОДЗ, чтобы записать оценку . Эта оценка справедлива для любого значения переменной из ОДЗ для выражения .

Однако, не менее часто приходится более внимательно относиться к ОДЗ при нахождении оценки значений выражения. Разберем наиболее характерные ситуации.

Если ОДЗ для выражения f(g(x)) есть пустое множество, то нет смысла говорить об оценке значений этого выражения.

Это очевидное утверждение: если выражение не определено ни для одного значения переменной, то оно не принимает никаких значений, поэтому и нет смысла говорить об оценке его значений. Этих значений попросту нет.

Разберем примеры использования этого утверждения для получения оценок.

Оцените значения выражений:

а)

б)

Опора на монотонность функций

Для получения оценок значений функций и соответствующих выражений может использоваться монотонность функции. В частности, если

Разберем метод, позволяющий это делать.

Метод базируется на следующем утверждении:

Приведем доказательство для одного случая. Для других случаев доказательства будут аналогичными.

Переходим к примерам.

Оцените значения выражений:

а)

б)

в)

Оцените значения выражения

Преобразование выражения с целью получения оценки

Для получения оценки значений выражения можно прибегать к преобразованию оцениваемого выражения. Делать это следует с опорой на следующее довольно очевидное утверждение:

Если на некотором множестве X значения выражений f₁(x) и f₂(x) равны, то оценка значений одного из этих выражений является и оценкой значений другого.

Утверждение можно считать доказанным методом от противного.

Из этого утверждения следует, что для получения оценки значений выражения f(x) можно проводить тождественные преобразования выражения, при которых не происходит сужения ОДЗ.

Оцените значение выражения (2·x−1) 6 −4·(2·x−1) 3 +5

Оценка значений квадратного трехчлена

В принципе, вопрос оценки значений квадратных трехчленов можно было отдельно не рассматривать. Дело в том, что он не несет в себе каких-либо особенностей, и рассмотренные выше методы позволяют получить оценку любого квадратного трехчлена. Однако на практике довольно часто приходится оценивать значения квадратных трехчленов, так что давайте все же уделим должное внимание этому процессу.

Во-вторых, получить оценку значений квадратного трехчлена позволяет выделение квадрата двучлена.

Покажем, как это реализуется на практике.

Оценка через исследование функции

На практике наиболее часто приходится оценивать значения функции на каком-либо числовом отрезке. При этом исследование функции с целью получения оценки часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Оцените значения выражения

Источник