Как оценить значение выражения 9 класс

Презентация по алгебре «Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значение выражения» (9 класс)

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА – ДЕТСКИЙ САД № 15»
МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИМФЕРОПОЛЬ
РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
ул.Баррикадная, д. 59, г. Симферополь, 295024
тел. (0652) 44-28-40Е-mail: uvkschkool15@yandex.ru

Методическая разработка для 9 класса
по алгебре на тему:

«Сложение и умножение числовых неравенств.
Оценивание значение выражения»
Составитель: Дидковская Н.П.
учитель математики

Описание слайда:

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Формируемые результаты:
Предметные: формировать умение формулировать и доказывать
теоремы о сложении и умножении числовых неравенств, оценивать значение выражения.
Личностные: формировать умение формулировать собственное мнение.
Метапредметные: формировать умение устанавливать причинноследственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы.
Планируемые результаты:
Учащийся научится формулировать и доказывать теоремы о сложении и умножении числовых неравенств, оценивать значение выражения.
Основные понятия
Почленное сложение неравенств, неравенства одного знака, неравенства противоположных знаков, почленное умножение неравенств, оценивание значения выражения.

Описание слайда:

Описание слайда:

Постановка цели и задач урока.
— Внимательно прочитайте тему урока.
— Какие цели и задачи можете поставить перед собой?
— Запишите тему урока в тетрадь.

Описание слайда:

Изучение нового материала

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Алгебра: 9 класс: учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Описание слайда:

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

§ 3, вопросы 1–4, № 61, 63, 66, 89

Алгебра: 9 класс: учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Описание слайда:

Рефлексия (подведение итогов занятия)

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Презентация по математике на тему «Подготовка к огэ задание №6»

Задание к уроку : «Корни, степени и логарифмы»

«Театрализованное внеклассное мероприятие по математике»

Тема: “Действия с рациональными числами.”

Тесты по кыргызского языка на тему»Рационалдык бөлчөктөр» (8-класс)

Анализ результатов ДКР в форме ЕГЭ

Презентация разбор нестандартных задач №18 математика профиль

Конспект урока по математике, 4 класс, единица измерения длины км.

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5432275 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах

Время чтения: 2 минуты

Названы главные риски для детей на зимних каникулах

Время чтения: 3 минуты

В российских школах могут появиться «службы примирения»

Время чтения: 1 минута

Все школы РФ с 2023 года подключат к государственной информационной системе «Моя школа»

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ « », означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

умножив части равенства на (– 1), получим:

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.

Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:

Решение. Запишем очевидно верное неравенство

Добавим к нему число 11:

Число 11 больше 5, поэтому можно записать:

Пример. Докажите, что неравенство

n 2 – 8n + 19> 0

справедливо для любого n.

В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:

n 2 – 8n + 19 = n 2 – 2•4n + 19 = n 2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =

= (n 2 – 2•4n + 4 2 ) – 16 + 19 = (n– 4) 2 + 3

Величина (n – 4) 2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4) 2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.

Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.

Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие

Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:

2ut – (u 2 + t 2 ) = 2ut – u 2 – t 2 = – (u 2 – 2ut + t 2 ) = – (u – t) 2

Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:

Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.

Пример. Докажите, что

d 2 + s 2 + m 2 ⩾ds + dm + sm

Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:

Сложим полученные неравенства:

(d 2 + s 2 ) + (s 2 + m 2 ) + (d 2 + m 2 ) ⩾2ds + 2sm + 2dm

2d 2 + 2s 2 + 2m 2 ⩾2ds + 2sm + 2dm

Осталось поделить на два это неравенство:

d 2 + s 2 + 2m 2 ⩾ds + sm + dm

Решение неравенств с одной переменной

Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во

справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.

Так, 3 – это одно из решений для нер-ва

ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во

Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва

является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.

Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:

Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».

Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:

Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство

Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:

Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)

Введем понятие равносильных неравенств:

Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:

Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.

Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной

х + 10 > 18

Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:

Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):

Пример. Решите нер-во

5у ⩾ 20

Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:

Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)

Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись

–6z > 42

Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:

Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:

Теперь поделим на 12 правую и левую часть:

Для нер-ваk> 10 решением является промежуток

Пример. Решите нер-во

9(h + 2) + 21 10 (штриховка сверху) и х 0

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х 2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х 2 – 8х + 12 2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8) 2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х₁ и х₂, можем записать, что

х 2 – 8х + 12 = (х – х₁)(х – х₂) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Источник

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Пример 1. Значение числового выражения

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Начинаем вычислять по порядку.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

Исходное выражение принимает вид:

Вычислим значение этого выражения:

Выражения с логарифмами

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

По свойству логарифмов:

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Пример 14. Значение числового выражения

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

С учетом этого, запишем все выражение:

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Источник