Как отнимать числа с минусом
Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.
Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».
Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.
Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.
Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».
Стоит запомнить выражения ниже.
Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».
Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.
Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Как вычесть отрицательные числа, сколько вариаций существует вычитания отрицательных чисел!?
1). Вычесть отрицательное число из отрицательного числа.
2). Вычесть отрицательное число от положительного числа.
3). Вычесть из отрицательного числа положительное число.
Все варианты вычитания отрицательных чисел.
Правила вычитания отрицательных чисел.
Правило вычитания отрицательных чисел:
1.1). Вычитание отрицательных чисел.
Если уменьшаемое a( без минуса ) больше вычитаемого b( без минуса ):
1.1.1). Правило для вычитания отрицательного числа из отрицательного числа:
Если уменьшаемое a без минуса больше вычитаемого b без минуса, то для данного подпункта есть отдельное правило:
Для вычитания отрицательного числа из отрицательного числа, нужно вынести минус за скобки, а внутри скобок произвести вычитание, как обычное вычитание.
Если уменьшаемое a( без минуса ) меньше вычитаемого b( без минуса ):
1.1.2). Правило для вычитания отрицательного числа из отрицательного числа:
Если уменьшаемое a без минуса меньше вычитаемого b без минуса, то для данного подпункта есть отдельное правило: положительное вычитаемое перемещаем на место уменьшаемого и вычитаем из него уменьшаемое :
1.2). Вычитание отрицательного числа из положительного.
Вычесть отрицательное число из отрицательного числа.
У нас получились два отрицательных числа, и теперь, нма нужно от одного отрицательного числа вычесть другое отрицательное число :
Как и раньше, мы должны открыть скобку. Минус на минус дает плюс :
Как проверить правильность вычитания отрицательного числа из отрицательного!?
Аналогично проверяем на на калькуляторе.
Вычесть отрицательное число от положительного числа.
Далее следующий пункт : как «Вычесть отрицательное число от положительного числа.«, нам понадобится пример, самый простой пример, пусть это будет :
Положительное число : 15.
И от первого, будем отнимать второе, т.е. отнимем отрицательное от положительного числа, данное выражение должно быть записано таким образом:
В данном примере, если мы раскроем скобки, то получится наложение минуса на минс, что дает плюс.
Как проверить правильность вычитания отрицательного числа из положительного!?
Вычесть из отрицательного числа положительное число.
Теперь : как «Вычесть положительное число из отрицательного числа.«, числа все те же :
И отрицательное число : 12
Третий вариант, будем вычитать положительное число из отрицательного :
В таком случае. мы должны вынести минус за скобки и внутри скобок знаки поменяются на противоположные: :
Как проверить правильность вычитания отрицательного числа из отрицательного!?
Аналогично проверяем на на калькуляторе.
Вычесть из отрицательного числа отрицательное число на калькуляторе.
Теперь вычтем отрицательные числа на калькуляторе :
Добавляем минус, нажимаем кнопку «±».
Набираем второе число : 12.
Добавляем минус, нажимаем кнопку «±».
Получаем результат вычитания отрицательного числа из отрицательного:
Вычесть отрицательное число от положительного числа на калькуляторе.
У нас есть калькулятор, на котром будем вычитать отрицательное число из положительного числа
Набираем положительное число : 15.
Нажимаем кнопку минус : «-«.
Набираем второе число : 12.
Далее, чтобы данное число сделать отрицательным нажимаем кнопку «±», добавляем минус.
Далее нажимаем кнопку равно : «=».
Получаем результат вычитания отрицательного от положительного числа:
Вычесть из отрицательного числа положительное число на калькуляторе.
Для иллюстрации вычитания положительного числа из отрицательного, нам опять понадобится пример и калькулятор:
Набираем первое число : 15.
Добавляем перед ним минус, нажимаем кнопку «±».
Нажимаем кнопку вычесть : «-«.
Набираем второе число 12.
Получаем результат вычитания положительного числа из отрицательного:
Урок 35 Бесплатно Вычитание
Мы уже научились складывать числа с разными знаками, а теперь нам предстоит узнать, как происходит нахождение разности между числами с разными знаками и какой дополнительный смысл это несет.
Не забудем и проанализировать, какими могут получится результаты вычитания.
Вычитание из положительного числа
До этого мы всегда вычитали из положительного числа другое положительное число, причем меньшее или равное ему.
Сейчас рассмотрим еще два случая:
Правило: чтобы вычесть из положительного числа другое положительное число, которое больше его, необходимо из вычитаемого вычесть уменьшаемое и к результату приписать знак «минус».
Пример:
Вычтем из 6-ти 8
В данном случае вычитаемое больше уменьшаемого, значит, вычитаем из него уменьшаемое:
И приписываем к результату «минус», получаем:
Как видите, ничего сложного. В жизни такие действия встречаются также достаточно часто.
Например, 19 декабря температура равнялась 4-м градусам выше нуля, но за сутки опустилась на 9 градусов. Чему равняется температура 20-го декабря?
В данном случае нам надо вычесть из 4-х 9.
Вычитаемое больше уменьшаемого, значит, будем действовать по описанному выше алгоритму.
Вычитаем из 9-ти 4, получаем 5.
Теперь приписываем «—», получаем, что \(\mathbf<4-9=-5>\)
Значит, 20-го декабря температура равнялась \(\mathbf<-5>\)-ти градусам.
Пример:
У Василия было на счету 15 тысяч рублей, и он потратил на новый телефон 20 тысяч. Чтобы посчитать, сколько денег у него останется на счету, мы должны вычесть из первого числа второе.
Опять же, вычитаемое больше уменьшаемого, значит, мы должны из вычитаемого вычесть уменьшаемое, а затем приписать «-».
Ответ: -5 тысяч рублей будет у Василия на счету.
Теперь будем вычитать из положительных чисел отрицательные числа.
Правило: чтобы вычесть из положительного числа отрицательное, необходимо сложить их модули.
Пример:
Вычтем из 11-и -3
Складываем их модули и получаем:
Как видите, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа, обратного этому отрицательному.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вычитание из отрицательного числа
Начнем с вычитания из отрицательного числа положительного числа. Мы делали это ранее с помощью координатной прямой. А сейчас научимся это делать, не используя ее.
Правило: чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, надо
Пример:
Вычтем из \(\mathbf<-3>\) \(\mathbf<4>\)
2) Складываем найденные модули:
3) Приписываем минус, полученное число и будет ответом:
Процесс взятия модуля достаточно несложный, поэтому зачастую решение можно не расписывать по действиям.
Процесс нахождения разности двух отрицательных чисел также не сложен и в целом сводится к сложению чисел с разными знаками.
Поэтому тут могут быть разные подходы:
Вычтем из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\)
Можно применить свойство, указанное выше, и смотреть на это, как на сложение чисел с разными знаками.
В таком случае, как мы помним, нужно взять модули слагаемых, из большего вычесть меньший и к результату приписать знак слагаемого с наибольшим модулем.
В нашем случае модуль больше у \(\mathbf<-5>\), так что \(\mathbf<-5+2=-3>\)
Посмотрим еще на такое свойство:
Если мы хотим прибавить отрицательное число, то достаточно вычесть положительное число с тем же модулем, что и у отрицательного числа.
Выше мы получили сумму отрицательного числа и положительного.
Перейдем к вычитанию из одного положительного числа другого положительного.
Посмотрим на том же примере, снова вычитая из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\).
Первое равенство (\(\mathbf<-5-(-2)=-5+2>\)) происходит, так как вычитание отрицательного числа можно превратить в прибавление положительного.
При переходе через второе равенство (\(\mathbf<-5+2=2+(-5)>\)) мы просто меняем местами слагаемые.
В третьем равенстве (\(\mathbf<2+(-5)=2-5>\)) мы пользуемся только что введенным свойством.
Нужно отметить, что теперь мы умеем превращать вычитание в прибавление (вычитание это прибавление числа с противоположным знаком того же модуля). И тогда при желании можно вообще не говорить отдельно про вычитание, сводя его к сложению.
Примеры:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Аналитика результатов вычисления разности
Рассмотрим геометрический смысл разности: она показывает, как соотносятся точки на координатной прямой.
Пример:
Пусть будет точка А с координатой -2 и точка В с координатой 3
Разность равна \(\mathbf<-2-3=-5>\)
Значит расстояние между точками равно 5-ти (модулю разности).
А знак «минус» говорит о том, что точка А лежит ближе по направлению, чем точка В (в данном случае левее).
1) Если разность координат двух точек больше нуля, значит, первая точка лежит дальше по направлению, чем вторая точка.
2) Если разность координат двух точек равна нулю, то точки совпадают
3) Если разность координат двух точек меньше нуля, значит, первая точка лежит ближе по направлению, чем вторая точка.
Если вернемся к картинке и посчитаем разность между координатами точек В и А, именно в таком порядке, то заметим, что она равна 5-ти, что подтверждает то, что точка В лежит дальше по направлению, чем точка А.
Если же посчитаем разность координат точки В, то есть вычтем из 3-х 3, мы получим 0, что подтверждает то, что это одна точка.
Иногда, еще до того, как мы начнем считать разность двух чисел, нам может захотеться знать знак результата.
Сформулируем общее правило:
1) Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность будет положительной
2) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность будет равна нулю
3) Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность будет отрицательной
Посмотрим на примерах и убедимся, что это действительно так.
Пример, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
Случай, когда оба числа больше нуля тривиален. Вы с ним хорошо знакомы, поэтому интересней поговорить про случай, когда оба числа отрицательны.
Например, вычтем из \(\mathbf<-11>\)-ти \(\mathbf<-15>\)
В данном случае уменьшаемое больше вычитаемого (так как они оба отрицательные и модуль уменьшаемого меньше).
Используя правила, получаем:
Получилось положительное число, как мы и ожидали.
Это происходит из-за природы вычитания: разность показывает сколько надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.
В самом деле, если мы прибавим к \(\mathbf<-15>\)-ти 4, то мы получим \(\mathbf<-11>\)
Именно поэтому, если уменьшаемое больше вычитаемого, чтобы из вычитаемого получить уменьшаемое, нужно будет прибавлять положительное число, а значит, и разность будет положительной.
Пример, когда уменьшаемое равно вычитаемому.
Здесь все также вполне тривиально: числа и так не различаются, значит, разность будет равна нулю.
Аналогия с координатной прямой здесь также говорит о том, что разность будет равняться нулю, ведь ненулевого отрезка между точками не будет.
Пример, когда уменьшаемое меньше вычитаемого.
Вычтем из 5-ти 15, получаем -10, число отрицательное, как и должно было получиться.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
В этом и предыдущих уроках мы нередко обращались к аналогии с градусником или ртутным термометром.
Оказывается, этот прибор слабо менялся с начала XVIII века, а первые приборы для измерения температуры появились еще раньше.
А проблемы были. Если использовали воду, то она замерзала и могла разбить трубку. Так ученые пришли к необходимости использовать винный спирт или другие спиртосодержащие жидкости, которые не замерзают при таких незначительных температурах.
В результате экспериментов с конструкциями появилась запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью. Теперь низкая температура не разрушала устройство, а давление не изменяло показатели.
Первую единую шкалу придумал немецкий физик Габриэль Фаренгейт в 1723 году.
Точку нуля он выставил как температуру состава снега и нашатыря или поваренной соли.
Точку в 32 градуса он выставил, как «начинающееся замерзание воды».
Есть в этой шкале и что-то человеческое: 96 градусов по Фаренгейту (96ºF) соответствуют температуре здорового человека.
Эту систему до сих пор используют в США, поэтому не стоит сильно удивляться непривычным цифрам, которые иногда можно услышать в сериалах и фильмах.
Почти привычную нам систему придумал шведский ученый Цельсий в 1742 году.
Позже ее «перевернули» и теперь мы знаем, что лед плавится при 0 градусах Цельсия (ºC), а вода кипит при 100ºC.
Сегодня обычные термометры постепенно отходят в прошлое, уступая свое место приложениям в телефоне, а опасные ртутные градусники заменяют более удобными и безопасными электронными, но в свое время это изобретение позволило сильно продвинуть науку вперед и улучшить жизнь людей.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Правило сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками
Для суммирования двух отрицательных чисел, необходимо:
суммировать их модули;
перед полученной суммой поставить знак «минус».
В данном случае, складываем модули 9 и 6, и перед получившимся натуральным числом 15 ставим знак «-«.
Сложение рациональных или дробных чисел выполняется аналогичным способом:
К 26,35 прибавляем 25,35 (т. е. мы складываем модули), в итоге получаем 51,75 с отрицательным значением. Перед ним ставим знак «минус».
Для суммирования натуральных чисел со знаками «+» и «-», надо:
из слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением;
перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, которое имело большее значение.
61,2 + (-31,5) = + (61,2 — 31,5) = 30,5
Модуль большего числа со знаком «+», соответственно, сумма получилась положительная:
Большее число со знаком «-», поэтому заменяем плюс на минус и получаем отрицательный ответ.
Как вычитать отрицательные и положительные числа
Для нахождения разности противоположных чисел, надо к уменьшаемому прибавить вычитаемое с противоположным знаком, то есть заменить разность суммой.
Наглядно данное действие лучше представить в виде формулы:
То есть любое выражение, содержащее знаки сложения и вычитания, следует решать как сумму чисел.
-6,1 + 5,6 = 5,6 + (-6,3) = 0,5.
Разность выражения будет положительной, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательной, если значение модуля уменьшаемого меньше вычитаемого. В случае, когда уменьшаемое и вычитаемое одинаковые, их разность будет равна нулю.
Если нужно отнять отрицательное число, то два знака «минус» подряд дают знак «плюс».
Все вышеперечисленные действия возможно выполнить на калькуляторе. Для этого достаточно ввести сначала модуль числа, потом нажать кнопку изменения знака «+/-».
Заключение
Для закрепления изученных правил можно использовать различные методы проверки знаний. На первом этапе лучшим вариантом будет тренажер, с помощью которого решение подобных примеров можно довести до автоматизма.
Так же для закрепления материала подойдет тестирование. Его можно провести в виде самостоятельной работы. В конце изучения всех правил применяется контрольная работа, задания для которой можно подобрать из различных дидактических материалов.
Правила вычитания отрицательных чисел
Вычитание отрицательных чисел — что означает
Отрицательное число — это действительное число, которое меньше нуля, имеет при написании знак минус.
Отрицательное число является элементом множества, в которое входят отрицательные числа. Появление этого понятия в математике связано с расширением множества из натуральных чисел. С его помощью удалось причислить операцию по вычитанию к полноценным арифметическим действиям (таким, как сложение).
Если рассматривать операции с натуральными числами, то можно заметить, что допускается вычитание только меньшего числа из большего. При этом переместительный закон на вычитание не распространяется. К примеру, выражение 3 + 4 – 5 является допустимым, а выражение, в котором операнды переставлены, 3 – 5 + 4 недопустимо.
С помощью добавления к множеству натуральных чисел отрицательных чисел и нуля действие вычитания распространилось на любые пары из натуральных чисел. В результате образовалось множество целых чисел. Для рациональных, а также вещественных чисел аналогично получаются соответствующие отрицательные значения. В случае комплексных чисел понятие отрицательного числа не применимо.
Отрицательные числа отмечены на шкале красным цветом:
Важно заметить, что для какого-либо натурального числа n существует единственное отрицательное число –n, с помощью которого n можно дополнить до нуля:
Действие вычитания некого числа а из другого числа b является равносильным операции сложения b с числом, которое противоположно числу а:
На множество отрицательных чисел распространяются почти все алгебраические правила, как и на натуральные числа. Однако существуют некоторые особенности, связанные со свойствами отрицательных чисел:
Основные правила, таблица
Действия с отрицательными числами можно представить в виде таблицы:
Вычитание отрицательных чисел выполняется, согласно правилу: для того чтобы вычесть из числа а число b, имеющее знак минус, нужно сложить уменьшаемое a и число –b, которое противоположно вычитаемому b. Формула:
Данное правило имеет доказательство. Предположим, что существуют некие самостоятельные числа а и b. Для того чтобы из первого числа вычесть второе, требуется определить число с, которое при сложении с числом b даст в сумме число а:
Доказательство сводится к определению справедливости для уравнения:
В процессе доказательства целесообразно обратиться к свойствам операций с действительными числами. Записанное равенство можно считать верным по действию сочетательного свойства сложения:
(a + (− b)) + b = a + ((− b) + b)
Исходя из того, что в сумме числа, обладающие противоположными знаками, дают нуль, получим:
Заметим, что при сложении числа с нулем такое число не изменится:
В результате доказано равенство:
Таким образом, доказано правило вычитания чисел, которые имеют знак минус, то есть являются отрицательными. Данное правило распространяется на любые рациональные и целые числа а и b, так как эти числа характеризуются свойствами, применяемыми в ходе доказательства.
Вычитание отрицательного числа из отрицательного
Вычитание одного отрицательного числа из другого отрицательного числа сводится к нахождению суммы чисел с разными знаками. Известно, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа с таким же модулем, что и у отрицательного.
Вычитание положительного числа из отрицательного
Последовательность действий при вычитании из отрицательного числа положительного:
Модули, которые получились в результате, следует суммировать:
К конечному результату нужно приписать знак минус:
Вычитание отрицательного числа из положительного
Вычитание отрицательного числа из положительного предполагает сложение модулей этих чисел.
Из примера видно, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа, которое является обратным отрицательному.
Примеры задач для 6 класса
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел, нужно найти сумму чисел с разными знаками:
В процессе необходимо сложить модули этих чисел и к ответу приписать знак минуса:
Согласно правилу сложения отрицательных чисел, получим:
Далее нужно суммировать отрицательные значения, руководствуясь правилом сложения отрицательных чисел: