Наибольший общий делитель как объяснить ребенку
Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы
Понятие наибольшего общего делителя
Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.
Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.
Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.
Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).
Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, 18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.
Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.
Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.
Способы нахождения наибольшего общего делителя
Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.
1. Разложение на множители
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Ответ: НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Ответ: НОД (15, 28) = 1.
Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.
Ответ: НОД (24, 18) = 6
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
2. Алгоритм Евклида
Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.
Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.
Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.
Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.
Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.
В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:
Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.
Ответ: НОД (140, 96) = 4
Пошаговое деление можно записать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:
Свойства наибольшего общего делителя
У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.
Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.
Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.
Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.
Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.
Доказательство
Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.
Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.
В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.
Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.
Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.
Доказательство
Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.
Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.
Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).
Доказательство
Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.
Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.
Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.
Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.
Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства
Что такое общие делители
Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.
В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.
Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.
Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.
Что такое наибольший общий делитель (НОД)
Переходим к формулировке основного определения.
Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.
Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.
На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).
Основные свойства НОД и алгоритм Евклида
У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.
Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.
Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.
Докажем это утверждение.
Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.
Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.
Перейдем к другим свойствам.
Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:
Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.
Презентация к уроку
Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.
| Делимое | Делитель | Частное | Остаток |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.
— позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;
— повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;
— позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;
— развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;
— создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.
Понятие НОД
Определение, что такое НОД в математике, звучит следующим образом: наибольший делитель, общий для чисел a и b, есть такое наибольшее число, на которое описанные значения смогут разделиться без остатка.
Для наилучшего понимания того, как найти НОД двух чисел, вместо указанных переменных достаточно подставлять простые числа, например, 12 и 9. То есть самым наименьшим делимым числом для 12 и 9 является то, которое позволяет найти решение без остатка.
Задача по нахождению НОД может решаться тремя способами. Каждый из них применяется в зависимости от того, насколько быстро требуется найти необходимый показатель:
Лучше всего рассматривать применение указанных методов через определенный класс задач, которые помогают при дальнейшем изучении теорем, касающихся дробей. Формулы для указанной темы очень доступны для понимания ученикам и учителям.
Метод разложения
Суть второй методики заключается в разложении на простые множители и перемножении общих из них. В качестве примера можно рассмотреть представление НОД для показателей 18 и 24:
Способ является достаточно простым. Однако из-за некоторого объема операций можно оказаться в сложной ситуации с поиском общих делителей, поэтому следует рассмотреть еще один способ.
Вычеркивание показателей
Для третьей методики характерно вычеркивание из разложения тех показателей, которые не проходят во второе число. Есть такие виды НОД, которые могут сильно отличаться, но все равно позволяют найти нужный показатель. Например, нужно найти наибольший делитель для значений 28 и 16:
Аналогично можно отыскать для других значений, например, 100 и 40. После разложения из первого перечеркивается лишняя пятерка. Перемножение дает 20, который после поверки оказывается наибольшим делителем.
Несколько значений
Несмотря на кажущуюся сложность, доказать, что возможно найти НОД для нескольких чисел без помощи онлайн-калькуляторов, вполне реально. Значения, подлежащие поиску, необходимо разложить на множители. После чего ищется произведение общих простейших множителей.
Есть такие числа как 18, 24 и 36. Разложение 18 дает такие коэффициенты как 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Затем 24 и 36 необходимо править по аналогичному методу. Если составить таблицу, то можно найти следующие общие показатели в виде 2 и 3. Они считаются общими для всех трех чисел.
Перемножив между собой, получается делимое число 6. Оно также подходит под разложение 18, 24 и 36, а также считается наибольшим общим делителем для всех трех параметров. Аналогичный принцип срабатывает и для четырех и более чисел, когда потребуется найти делитель на любом уровне сложности вплоть до максимального.
Наименьшее общее кратное
Помимо НОД, существует еще и наименьшее общее кратное, или НОК. Если сказать по-другому, то таковым свойством можно считать число, которое без остатка будет разделяться на число a и число b.
Как и для НОД, поиск НОК может осуществляться тремя похожими с предшествующими способами. Каждым из них можно воспользоваться в зависимости от ситуации и удобства решения задания:
На последнем методе стоит остановиться несколько подробнее. Он является не только сравнительно менее громоздким, но и обладает определенным преимуществом в виде уже найденного НОД и более простого алгоритма решения.
Совмещение делителей
Такая методика характерна для тех примеров, в которых требуется единовременное нахождение НОД и НОК двух чисел. Например, необходимо отыскать для чисел 24 и 12 НОК и НОК. Действовать нужно в следующем порядке:
Сходный механизм действует и при поиске НОК и НОД исходя из другой пары чисел. В каждом примере необходимо сначала отыскать наибольший делитель, перемножить два числа и получить наименьшее кратное.
Что касается решения с помощью интернет-ресурсов, то на сегодняшний день имеется много онлайн-калькуляторов и программ, которые дают возможность сравнительно быстро найти НОД и НОК и подсказать грамотные пути решения.
Нахождение наибольшего делителя и НОК является не только распространенной, но и сравнительно трудной задачей для учеников средней школы. Ведь если не рассмотреть подробно такую тему, то дальнейшее изучение дробей, которые включают в себя числитель и знаменатель, окажется практически невозможным.
Важно грамотно использовать ресурсы на специальных математических сайтах, где могут подробно и понятно объяснить разложение дробей и нахождение общих делителей. Бояться ошибиться в такой теме не стоит, поскольку при правильном подходе она пройдет достаточно быстро, а вычисление различных по уровню сложности примеров не составит особых сложностей.
Наибольший общий делитель
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Второй способ записи НОД
На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.