Модули 10 класс алгебра как решать

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Цели урока: создать условия для:

Тип урока: обобщения и закрепления знаний и умений.

I. Определение темы и цели урока

Совместно с учащимися формулируем тему урока;

Совместно с учащимися ставим цели и задачи урока;

Определяем основные этапы урока.

Для этого обратиться к учащимся с вопросами:

Решением каких уравнений мы занимались на предыдущих уроках?

Что нужно знать для этого?

II. Обобщение и систематизация знаний

1. Учитель: Сформулируйте определение модуля числа.

Ученики: Модулем действительного числа х называется само это число, если х ≥ 0, и противоположное ему число, если х 2 = х 2 ;

3. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнение

4. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Т.к. то

5. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнения такого вида решаются методом разбиения на промежутки. Для этого надо: 1) найти нули выражений, стоящих под знаком модуля; 2) разбить ОДЗ переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак; 3) на каждом из полученных промежутков решить уравнение с учётом определения модуля. Объединение решений на указанных промежутках и составляет все решения данного уравнения.

6. Учитель: Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль?

Ученики: Надо сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Учащиеся выполняют задания устно, комментируя своё решение.

1. Раскрыть знак модуля:

а) б)

2. Найти множество решений уравнения:

а) б) в) г)

Ответ:

Ответ:

IV. Закрепление умений учащихся решать уравнения

4 ученика решают на доске, остальные в тетрадях. Затем сверяют решения, при необходимости исправляют ошибки. Работающие у доски отвечают на возникающие вопросы.

Решение: Данное уравнение равносильно совокупности систем:

Ответ: 1,5; .

Ответ: ; 1; 3.

1) х 3, тогда 3х + 4 + 2·(х – 3) = 16 х = 3,6 – является корнем уравнения.

4) = 4.

Решение: Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна совокупности двух систем: х = 0.

V. Самостоятельная работа (разноуровневая)

Самостоятельная письменная работа в трёх уровнях с последующей сдачей учителю. Ученик может выбрать любой из трёх уровней.

Первый уровень оценивается оценкой «3», второй – оценкой «4», третий – «5».

б) Найти сумму корней уравнения:

VI. Постановка домашнего задания

1. Решить уравнения:

а) х 2 = ;
б) ;

в)

* д) Найти сумму целых решений уравнения

Какими навыками, умениями овладели?

Какими понятиями, приёмами воспользовались при решении уравнений?

Решение каких уравнений вам показалось сложным?

Источник

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х 2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р 2 х – 3рх = р 2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у₁ и х 2 = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =

= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =

= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂ – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)

Источник

Уравнения с модулем

Что такое уравнение с модулем

Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.

В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.

Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.

Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности

Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.

Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.

Разберем подробное решение квадратного уравнения:

Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:

На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:

Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:

x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4

Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:

Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:

Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:

9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2

Преобразуем сложное уравнение:

На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:

В результате получим:

При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:

Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:

Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:

Рассмотрим несколько иное уравнение:

В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:

Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов

Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:

Примеры решения задач с объяснением

Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.

Рассмотрим в качестве примера:

Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

Согласно первому свойству модуля:

Используя данное правило, решим уравнение:

По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:

Решим следующее уравнение:

Воспользуемся правилом и получим:

При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.

Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:

Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:

Рассмотрим еще несколько примеров.

Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:

Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:

Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.

Рассмотрим пример такого выражения:

Первый модуль имеет вид:

Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:

После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:

По аналогии выполним преобразования второго модуля:

Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.

Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:

Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.

С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.

В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:

В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:

Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:

Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:

Второй корень является решением:

Третий корень также является решением:

Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:

В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.

Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:

Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:

Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:

Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.

Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.

Раскроем сначала внутренние модули:

Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:

Задачи для самостоятельного решения

Найти корни уравнения:

Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:

Найдем корни квадратного уравнения:

В процессе потребуется сократить уравнение на 3:

Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:

Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:

Найти корни уравнения:

Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:

Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:

Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:

Нужно решить уравнение:

С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:

Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:

Корень соответствует определенному ранее промежутку.

Этот промежуток не имеет корней.

Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.

Найти корни уравнения:

Найти корни уравнения:

Найти корни уравнения:

Найдем корни квадратных уравнений:

Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:

Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:

Найти корни уравнения:

Найти корни уравнения:

3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним

В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.

Источник