Урок по теме «Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля»
Разделы: Математика
Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.
Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.
Оборудование: ПК, проектор, экран.
I. Организационный момент.
(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)
– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.
II. Постановка цели.
– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.
– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.
III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:
– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1
– Выполним устно задания теста. Приложение 2
– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.
IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:
2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?
Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.
Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.
4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:
5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:
6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0
VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:
7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.
Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.
Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);
8. Пример: Решите уравнение:
Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.
VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:
9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t1 и t2 (так как D>0). Очевидно, что корни t1 и t2 – положительны (t1 + t2 >0, t1 * t2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений
имеет четыре корня: + t1, + t2. Их сумма квадратов t1 2 + (-t1 ) 2 + t2 2 + (-t2 ) 2 = 2(t1 2 +t2 2 ). Так как t1 2 +t2 2 = (t1+t2) 2 – 2 t1 t2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.
Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;
при а = – 3 – один корень; при а – 1 – два корня. При а – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.
Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.
– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.
IX. Выполнение упражнений:
11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.
Решение. Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.
После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.
X. Подведение итогов.
– Сегодня на уроке мы:
1) повторили определение квадратного уравнения;
2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;
3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;
4) повторили определение модуля и параметра;
5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;
6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;
7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;
8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.
– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;
– за индивидуальную работу у доски;
– за работу по карточкам;
– за самостоятельную работу.
XI. Домашнее задание и его инструктаж:
М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4
(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)
Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.
Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.
1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»
1) «Уравнения, содержащие модуль»
Расcмотрим четыре случая
<
x + 3 > 0
<
x> – 3
y – 2 > 0
y> 2
x + 3 + y – 2 = 4
y = – x + 3
<
x + 3 > 0
<
x> – 3
y – 2 <
x + 3 <
x 0
y> – 2
– x – 3 – y – 2 = 4
y = x + 9
<
x + 3 <
x 2 – 1) х = а + 1.
Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения
Ответ: если а = – 1, то х – любое; если а = 1, то нет решения;
3. Решения примеров (из вариантов С)
1. При каком значении параметра р уравнение | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.
Рассмотрим функцию у = | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 |
Так как х 2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х 2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой
1 2 3 4 х
Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков
Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 2 – | x | = 6 2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах 2 – (а + 1) + а 2 + а = 0?
1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а –12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?
1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а – 12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?
5. Итог урока
1. Определение модуля. 2. Что значит решить уравнение с параметром?
Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.
Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам.
Что такое модуль в математике
Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.
Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.
Свойства модуля
Важно помнить о следующих свойствах:
Модуль комплексного числа
Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).
Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.
Как решать уравнения с модулем
Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.
Уравнения типа |x| = a
Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.
Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.
Если |x| <, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Уравнения типа |x| = |y|
Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.
Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).
Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.
Уравнения типа |x| = y
Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.
Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:
Решение неравенств с модулем
Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.
Уравнения вида |x| = a
Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.
Решение.
Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.
После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.
Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.
Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.
Это означает, что –2 – поворотная точка.
Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.
Разделим интервал на 2 части:
Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).
Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].
Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:
Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).
Уравнения вида |x| = |y|
Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.
Решение:
Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.
Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:
Решение:
Уравнения вида |x| = y
Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:
Решение:
Ответ: x = 0.
Модуль суммы
Модуль разности
Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.
Пример 1.
Пример 2.
Модуль отрицательного числа
Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,
Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.
Модуль нуля
Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.
Модуль в квадрате
Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:
Примеры графиков с модулем
Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.
Пример 1.
Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.
Решение:
Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.
Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.
Решение:
Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).
Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.
Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.
Метод интервалов в задачах с модулем
Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.
Для использования метода нужно совершить следующие действия:
Пример 1. Решить методом интервалов.
Решение:
Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.
Модуль в модуле
Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.
Лучше всего понять принцип на примере.
Пример 1. Решить
Решение:
Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:
В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:
Нужно упростить два уравнения:
Далее каждое из равенств разделяется еще на два:
Получено четыре результата:
Заключение
Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.
Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.
В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:
Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.
