Множество однозначных чисел как обозначается

Обозначение, запись и изображение числовых множеств.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества, то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как <3, 5, 7, …, 99>.

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N= <1, 2. 3, …>.

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на координатной прямой. Например, при решении неравенств, в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе изображение числовых промежутков. Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪<−10>∪[−3,1)∪ 25, 5>∪(17, +∞) :

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Источник

Обозначение, запись и изображение числовых множеств

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.

Напомним также следующие обозначения:

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.

Источник

Числовые множества с примерами решения и образцами выполнения

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

— множество натуральных чисел;

— множество целых неотрицательных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел.

— множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, , — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема:

Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

Отсюда следует, что (а значит, и ) — четное число, т. е. . Подставив к равенство , получим , т. е. . Отсюда следует, что число — четное, т. е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

, где .

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и содержится бесконечное множество действительных чисел , т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству .

Так, если , то одним из них является число

3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству . Оно отделяет числа класса от чисел класса . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Числовые множества

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что для всех чисел выполняется неравенство

Числа называются, соответственно, мажорантой и минорантой множества А.

Ограниченное снизу и сверху множество, называется ограниченным.

Наименьшая из мажорант (наибольшая из минорант) называется верхней (нижней) гранью множества А. Верхняя грань обозначается через . Для нижней грани используется обозначение .

В качестве примера рассмотрим множество

Здесь .

Докажем теперь теорему о существовании граней множества.

Теорема:

Ограниченное сверху (снизу) множество имеет. верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство:

Предположим, для определенности, что множество А ограничено сверху. Обозначим через В множество его мажорант. Тогда для любых чисел выполняется неравенство . По свойству полноты множества действительных чисел (§1. свойство 9)) существует число-разделитель с такое, иго для всех имеет место неравенство

Таким образом, с одной стороны, число с: является мажорантой, а, с другой стороны, оно нс превосходит любой из мажорант и, следовательно, . Аналогично доказывается существование нижней грани.

Рассмотрим систему вложенных отрезков

Принцип вложенных отрезков. Любая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Доказательство. Пусть множества А и В состоят из левых и правых концов отрезков, соответственно. Так как для любых справедливо неравенство ,

то по свойству полноты множества действительных чисел найдется разделитель . этих множеств и, следовательно, дня всех

Таким образом, число с принадлежит всех отрезкам системы. Принцип доказан.

Множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Конечные множества считаются равномощными, если они имеют одинаковое ’тело элементов. Если множество содержит бесконечное количество элементов, то можно попытаться сравнить его с другим бесконечным множеством простой структуры. например, с множеством натуральных чисел.

Бесконе’шое множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать, т. с. каждый элемент множества получает свой, отличный от других номер, выражающийся натуральным числом.

Примерами счетных множеств могут служить, например, множества целых и рациональных чисел. Целые числа можно пересчитать, расположив их в ряд:

Для того, чтобы пронумеровать рациональные числа, расположим их в следующей бесконечной матрице:

В строках этой матрицы записаны все несократимые рациональные дроби с фиксированным знаменателем. Ясно, что каждому рациональному числу однозначно найдется место в этой матрице. Занумеруем теперь числа матрицы по диагоналям, на’шная с левого верхнего угла, т. е.

где запись означает, что рациональное число получает номер . Таким образом, каждое рациональное число будет пронумеровано и, следовательно, множество счетно.

На этих примерах мы наблюдаем любопыппдй парадокс, который является особенностью бесконечных множеств: бесконечное множество может быть равномощно своей части, т. с. содержать столько же элементов, сколько их имеется в собственном подмножестве.

В заключение этого параграфа покажем что существуют множества, которые являются более мощными, чем счетные.

Теорема:

Любой отрезок множества действительных чисел является несчетным множеством.

Доказательство:

Предположим, наоборот, что отрезок является счетным множеством и пусть

— пронумерованное множество чисел этого отрезка. Выберем внутри данного отрезка отрезок , который нс содержит число , внутри отрезка найдется отрезок . не содержащий число , …, внутри отрезка возьмем отрезок , в котором не содержится число , …. В результате мы получим систему вложенных отрезков

В соответствии с принципом вложенных отрезков, найдется число с, общее для всех отрезков. Пусть — номер этого числа, т. е. и, следовательно, . Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы.

Числовые множества и числовые последовательности

Множества

Понятие м ножества принадлежит к числу первичных, неопределяемых понятий. Употребляя термин «множество», будем понимать под этим любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой элементов, мыслимое как единое целое. Например, мы можем говорить о множестве букв на данной странице, о множестве песчинок на морском берегу, о множестве всех корней уравнения, о множестве всех четных чисел и т. д.

Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент о принадлежит множеству А символически записывается так: a ∈ А. Запись a ∈ А (или a∉А) означает, что элемент о не принадлежит множеству А. Если каждый элемент из множества А входит и в множество В, то мы называем А подмножеством множества В и пишем А ⊂ В. Так, множество всех четных чисел Z’ является подмножеством множества Z всех целых чисел. Заметим, что всегда А ⊂ А.

Если А ⊂ В и В ⊂ А, т.е. если каждый элемент множества А есть также и элемент В и наоборот, то мы говорим, что множества А и В равны и пишем А = В. Тем самым множество однозначно определено своими элементами. Пользуясь этим, мы будем иногда обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные скобки. Так

суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов a и b, трех элементов а, b и с. Часто все элементы множества выписать затруднительно, или невозможно. В таких случаях невыписанные элементы будем заменять точками:

есть множество, состоящее из элементов а, b, с и, может быть, еше некоторых других. Какие эти другие элементы, обозначенные точками, должно быть указано, например:

множество натуральных чисел <1, 2, 3…..п,… >;

множество квадратов натуральных чисел <1, 4, 9,…, п2,… >; множество простых чисел <2, 3,5,7,… >.

Если А ⊂ В, но А ≠ В, то А называют правильной частью множества В (истинным подмножеством множества В).

Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Будем обозначать пустое множество символом ∅. Любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества.

Пусть А и В — два множества. Их суммой или объединением С = A ∪ В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и В (рис. 1).

Назовем пересечением множеств А и В множество С = А ∩ В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 2). Например, если А = <1, 2, 3>, В = <2, 3, 4, 5>, то A U В = <1,2, 3, 4, 5>, A ∩ В = <2,3>.

Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа множеств.

Если А ∩ В = ∅, то говорят, что множества А и В не пересекаются.

Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого натурального числа элементов. Например, конечным является множество всехжителейданного города, а также множество всех людей, населяющих планету Земля. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Так, множество N = <1, 2,… >всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Пусть А и В — некоторые множества. Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1) разным элементам множества А поставлены в соответствие разные элементы множества В и 2) каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А. Если между двумя конечными множествами А и В удалось установить взаимнооднозначное соответствие, то множество А и В имеют одинаковое число элементов. Множества А и В, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными.

Обозначение: А

Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством N натуральных чисел, т. е. если А

N. Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Действительные числа. Абсолютная величина

Числа 1, 2, 3,…, п, п + 1,… называются натуральными числами. Дроби вида

где т и п — натуральные числа, а также число 0 называются рациональными числами. В частности, рациональным будет каждое натуральное и каждое целое отрицательное число. Любое рациональное число выражается либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Кроме рациональных чисел существуют еще иррациональные числа, которые выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например,

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (вещественными) числами.

Можно показать, что множество всех рациональных чисел счетно. Множество всех действительных чисел счетным не является.

Мы будем предполагать, что основные свойства действительных чисел и арифметические действия над ними известны из школьного курса математики.

Определение:

Если а > 0, то отношение |х| ≤ а эквивалентно отношению

-а ≤ х ≤ а (проверьте это!).

Для абсолютных величин верны следующие соотношения:

1. |а • b| = |а| • |b|;

Справедливость этих соотношений вытекает из правила умножения и деления действительных чисел и из определения абсолютной величины.

Источник