Многоугольник ускорений термех как строить

iSopromat.ru

Пример решения задачи по определению ускорения точки, находящейся в середине дуги окружности движущегося диска заданного радиуса по известным ускорениям двух точек, лежащих на диаметре диска.

Задача

Определить ускорение точки K, лежащей в середине дуги окружности AB.

Решение

Для определения угловой скорости и углового ускорения диска напишем формулу для ускорения точки B, взяв за полюс точку A:

Спроецировав равенство на выбранные оси координат, получим два выражения:

Решая эти выражения, получим:

Направление вектора a_BA вр показывает, что угловое ускорение диска направлено по ходу часовой стрелки.

Для определения ускорения точки, движущейся по дуге окружности K запишем формулу

Этот вектор направлен от точки K к точке Α.

его направление определяется направлением углового ускорения диска.

На рисунке 2.40 показано геометрическое сложение векторов, определяющих ускорение точки K. Все составляющие известны по величине и направлению. Поэтому, построив в масштабе векторный многоугольник, можно определить величину и направление ускорения точки K.

Для выполнения аналитических расчетов формулу, определяющую ускорение точки K, проецируем на выбранные оси:

Полное ускорение точки K:

Направление вектора a_K определяют углы, которые он составляет с осями координат:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим порядок построения планов скоростей и ускорений точек звеньев на примере кинематического исследования плоского рычажного механизма (рисунок 1).

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени.

Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное – движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное:

На плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана.

На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает. Отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек.

Рисунок 1 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

Рассмотрим построение планов для механизма, представленного на рисунке 1. Вначале рассматривается начальный механизм, а далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения.

По вычисленному значению V_A выбираем масштаб плана скоростей K_V и из произвольного полюса откладываем отрезок va изображающий эту скорость:

Можно также назначать отрезок va а масштаб K_V вычислять:

Истинные значения (в м/с) относительных скоростей V_BA и V_BC определяются после построения плана умножением соответствующих отрезков (в мм) на масштаб плана:

а зная их, можно определить и угловые скорости звеньев 2 и 3:

Группа Ассура второго класса 3-го вида (звенья 4,5) :

Примечание: в данном случае размер DE является величиной переменной (т.е. в задании он отсутствует), поэтому в каждом положении механизма он определяется через отрезок на чертеже и масштаб длин.

План ускорений строится в таком же порядке.

Начальный механизм

Ускорение точки A состоит только из нормальной составляющей, т.к. задана постоянная угловая скорость первого звена ( ω₁=соnst ):

По вычисленному значению ускорения точки A выбирается масштаб плана ускорений и определяется отрезок на плане, соответствующий этому ускорению (или вычисляется масштаб плана ускорений по выбранному отрезку, изображающему ускорение точки A):

Здесь точка w – полюс плана ускорений.

Группа Ассура (звенья 2,3) второго класса 1-го вида:

Ускорение точки D определяем по подобию так же, как определяли скорость этой точки:

Рисунок 5 – Планы скоростей и ускорений для заданного положения механизма

Группа Ассура (звенья 4,5) второго класса 3-го вида:

При силовом расчете необходимо иметь ускорения центров масс ( a_si ), которые на плане ускорений определяются методом подобия.

Планы скоростей и ускорений для первого положения заданного механизма приведены на рисунке 5.

Уравнение планов скоростей и ускорений для каждой группы Ассура приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов

Источник

Графическое определение положений звеньев механизма

Независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение и движение механической системы, называют обобщенными ко­ординатами. Из курса теоретической механики известно, что количество обобщенных координат равно числу степеней свободы системы, поэтому, установив число степеней свободы механизма, необходимо выбрать столь­ко же обобщенных координат. Как правило, в механизме с одной степенью свободы имеется одно начальное (входное) звено, поэтому за обобщенную координату обычно принимается или угол поворота вращающегося звена, или линейная координата прямолинейно движущегося звена.

Для определения положений звеньев механизма в стандартном масштабе строится его кинематическая схема. Определение положений звеньев покажем для механизма, приведенного на рис. 1.1.

Масштабный коэффициент выбирается таким образом, чтобы длина самого большого звена (1_тах) не превышала на чертеже 150. 180мм. Мас­штабный коэффициент измеряется в м/мм и определяется из формулы

(1-3)

Рис. 1.4. Построение положений звеньев механизма

Для того, чтобы графически определить кинематические величины, описывающие движение звеньев механизма, производятся построения так называемых планов скоростей и ускорений.

1.3. Построение плана скоростей плоского механизма

Основу построения плана скоростей составляет векторная формула определения скорости точки плоской фигуры

(1.4)

(1-5)

ω- угловая скорость плоской фигуры.

Чтобы воспользоваться векторной формулой, необходимо сначала построить в определенном масштабе (1:1; 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10 и т.д.) план механизма в заданном положении. Затем нужно выбрать масштабный коэффициент, который равен отношению скорости полюса к длине отрез­ка, изображающего эту величину. Для обеспечения требуемой точности построения длину отрезка принимают равной 40. 60 мм:

(16)

После этого в выбранном масштабе строится векторный треугольник по уравнению (1.4), в котором вектор Vм является замыкающим вектором, а V_mp перпендикулярен к отрезку МР. Такие построения проводятся для всех характерных точек механизма (как правило, кинематических пар) на одном рисунке.

Построение плана скоростей произведем для механизма, изобра­женного на рис. 1.4 во втором положении, для следующих исходных дан­ных:

ОА = 0,1 м; АВ = 0,4 м; ВС = 0,15 м; СО, = 0,15 м; СБ = 0,5 м; ОО, = 0,4 м; угловая скорость кривошипа (звена 1) ω₁ = 10 рад/с.

Решение задачи начинаем с определения модуля скорости точки А начального звена 11

Изобразим вектор скорости V_A из некоторой точки Р_v которая назы­вается полюсом плана скоростей. Этот вектор всегда направлен перпенди­кулярно начальному звену 1 в сторону его движения (рис. 1.5).

Примем длину этого вектора равной 50 мм, тогда масштабный коэф­фициент скорости равен

В конце вектора поставим стрелку и точку а. Скорость точки В определяется в соответствии с векторным уравнением (1.4) в виде:

В силу того, что точка В принадлежит третьему звену, совер­шающему вращательное движение вокруг точки O₁, вектор скорости Vв направлен перпендикулярно третьему звену. Кроме того, вектор V_ba пер­пендикулярен звену 2 и потому точку b на плане скоростей получим как точку пересечения перпендикуляров к направлениям звеньев 2 и 3 в рас-

четном положении, проведенных соответственно через точки а и p_v. Ве­личину скорости точки В найдем, измерив длину отрезка Р, Ь на плане скоростей и умножив ее на масштаб:

Угловая скорость вращения третьего звена находится из формулы

Для определения угловой скорости звена 2 необходимо скорость V_ba во вращательном движении звена ВА вокруг полюса А разделить на длину этого звена:

Точка С принадлежит третьему звену, совершающему вращательное движение вокруг точки O₁ с угловой скоростью ω₃ • Следовательно, вектор скорости Ус направлен перпендикулярно к третьему звену, а его модуль можно найти из формулы

Таким образом, точке С, лежащей на середине звена O₁B механизма, соответствует точка с плана скоростей, лежащая на середине отрезка Р_v b. Заметим, что если одна из скоростей точек (К) какого-либо звена (КL) на плане скоростей уже построена (k), то положение любой другой точки (m) может быть установлено из соотношения пропорциональности:

Завершая построение плана скоростей, определим величину и на­правление скорости точки D. Для этого воспользуемся векторной форму­лой

Проводим из конца вектора Vс прямую, перпендикулярную звену 4, а из полюса P_v — прямую, параллельную направляющим ползуна 5, т.е. ли­нии OD. Точка пересечения этих прямых есть конец вектора V_D, т.е. точка d: Модуль скорости точки d находится путем умножения длины отрезка P_vd на масштабный коэффициент k_v‘.

Угловую скорость вращения четвертого звена находим из формулы

Для динамического анализа механизма необходимо знать скорости центров масс звеньев. Полагая, что центры масс звеньев расположены в середине отрезка, соединяющего кинематические пары, отметим соответ­ствующие точки на плане скоростей. Разделив пополам отрезки аb, Р_v b, cd, получим точки S₂, S₃, S₄. Измерив расстояния P_vS₃, P_vS₄ находим соот­ветствующие скорости:

1.4. Построение плана ускорений плоского механизма

Основой построения плана ускорений служит векторная формула, определяющая ускорение точки плоской фигуры:

(1.7)

(1.8)

где ω и ε, соответственно, угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры.

Перед началом построений выберем масштабный коэффициент, рав­ный отношению ускорения к длине отрезка, изображающего эту величину. Для обеспечения требуемой точности построения длину отрезка прини­мают равной 80. 100 мм:

(1-9)

Изобразим вектор ускорения a n _A из некоторой точки р_а, которая на­зывается полюсом плана ускорений. Этот вектор всегда направлен парал­лельно начальному звену 1 (рис. 1.6).

Примем длину этого вектора равной 100 мм, тогда масштабный ко­эффициент ускорения равен

В конце вектора поставим стрелку и точку а. Ускорение точки В находим в соответствии с векторной формулой (1.7):

а вектор a n _BA направлен вдоль звена АВ от точки В к точке А. Длина, вектора, изображающего это ускорение, равна величине этого ускорения, деленной на масштабный коэффициент: a n _BA /к_а = 0,08 / 0,1 = 0,8 мм. В пределах погрешности построений (с точностью до 1 мм) изобразить этот отрезок на чертеже не представляется возможным, поэтому полагаем, что он равен нулю. Таким образом, точка b плана ускорений лежит на перпен­дикуляре к АВ, проведенному из точки а.

С другой стороны, точка В принадлежит звену 3, совершающему вращательное движение вокруг точки О₁ Следовательно, полное ускоре­ние точки В равно сумме ее нормальной и касательной составляющих :

причем по величине

а направлен этот вектор вдоль ВО₁ от В к O₁. Длина вектора, изображаю­щего это ускорение, равна величине этого ускорения, деленной на мас­штабный коэффициент: a n _B/ к_а = 2,84 / 0,1 = 28,4 мм. Из полюса плана ускорений проводим отрезок р_ап₃ длиной 28 мм параллельно звену ВО₁. Этот вектор изображает нормальное ускорение точки В. Из конца этого вектора проводим перпендикулярно ему линию, по которой направлена касательная составляющая ускорения точки В, до пересечения с перпенди­куляром к АВ, проведенным из точки а. Полученную точку обозначаем че­рез b. Замерив длину отрезка р_а b, находим полное ускорение точки В :

Замеряем на чертеже длину вектора п₃b (в данном примере она равна 43 мм), изображающего касательную составляющую ускорения точки В. Его величина позволяет определить угловое ускорение звена 3:

Угловое ускорение звена 2 находим аналогично:

Далее находим ускорение точки D как векторную сумму:

где

Длина вектора, изображающего это ускорение, равна a n _DC/ к_а = 0,01 • 0,1 = = 0,1 мм. Изобразить этот отрезок на чертеже не представляется возмож­ным, поэтому полагаем, что он равен нулю.

Далее находим угловое ускорение четвертого звена;

Определим ускорение центров масс звеньев 2 и 4. Для определе­ния ускорения центра масс второго звена разделим на плане ускорений отрезок аb пополам точкой S2 и соединим ее с полюсом плана ускорений:

Аналогично находим положение точки S4 и ускорение центра масс звена 4:

1.5. Особенности построения планов скоростей и ускорений кулисного механизма

Вкулисных механизмах одно из звеньев, называемое кулисой, может перемещаться поступательно относительно другого подвижного звена (на рис. 1.7,а звено 3 является кулисой). В результате кулиса совершает слож­ное движение, методы кинематического анализа которого несколько отли­чаются от изложенных выше.

Напомним, что сложное движение твердого тела раскладывается на два составляющих движения: относительное (относительно подвижной

системы отсчета) и переносное (движение подвижной системы отсчета от­носительно неподвижной). Скорость точки в сложном движении опреде­ляется как векторная сумма;

(1.10)

При определении ускорения точки в сложном движении следует иметь в виду, что наряду с относительным и переносным ускорением нуж­но учитывать еще и ускорение Кориолиса:

(1.11) причем для плоского переносного движения

(1.12)

Рассмотрим построение плана скоростей для кулисного механизма, изображенного на рис. 1.7,а при следующих исходных данных : ОА = 0,2 м; O₁O = 0,34 м; угловая скорость кривошипа ω₁= 10 рад/с. Проведем графи­ческие построения для расчетного положения, в котором ОА перпендику­лярно О₁O

Начальное звено ОА совершает вращательное движение, и потому скорость точки А звена 1 может быть найдена как

Вектор скорости V_A1 направлен перпендикулярно звену 1 в сторону его движения.

Выбрав произвольную точку ру за полюс плана скоростей, изобразим вектор скорости V_A1 задавшись его длиной на плане скоростей в 50 мм. Тогда масштабный коэффициент найдем как

После построений получим на плане скоростей точку a₁. В силу того, что точка А кулисы 3 совершает сложное движение, абсолютная скорость V_a1 может быть представлена в виде суммы (1.10), в которой вектор пере­носной скорости точки А звена 2 V_a2 направлен перпендикулярно к ОА (т.к. переносное движение вращательное), а вектор относительной скорос­ти V_r— вдоль прямой O₁A (т.к. относительное движение прямолинейное):

а отрезок a₁а₂ относительную скорость;

При заданном направлении движения вектор относительной скорос­ти направлен от а₂ к а₁.

Величина угловой скорости звена 2 может быть найдена как отно­шение

Переходим далее к построению плана ускорений. Выбрав полюс плана ускорений p_a, зададимся длиной вектора ускорения точки А в 50 мм. При этом

Тогда масштабный коэффициент равен

Изображаем в выбранном масштабе вектор а_A1 на плане ускорений, направляя его вдоль звена 1 отточки А к оси вращения О.

Абсолютное ускорение а_A1 может быть представлено в виде вектор­ной суммы (1.11):

в которой ускорение точки А звена 2 имеет две составляющие г

ускорение Кориолиса

и направлено перпендикулярно к звену 2 в сторону его переносного вращения.

Из полюса плана ускорений изображаем вектор переносного нор­мального ускорения параллельно АО₁ от А к O₁ величиной

Касательная составляющая ускорения точки А звена 2 направлена перпендикулярно к О₁А, а значит перпендикулярно и к р_ап. Следователь­но, точка аг расположена на перпендикуляре к нормальному ускорению.

Вектор ускорения Кориолиса длиной

1.6. Аналитическое определение скоростей и ускорений звеньев меха­низма

Графические методы кинематического анализа, являясь довольно простыми и наглядными, не обладают точностью, которая бывает необхо­дима при расчетах механизмов. В последнее время получили распростра­нение аналитические методы, с помощью которых исследование кинема­тики механизмов может быть осуществлено с любой степенью точности.

Кроме того, аналитические методы легко поддаются алгоритмизации, что немаловажно при решении задач кинематики механизмов на персональных ЭВМ.

Аналитический метод,или метод замкнутого контра, состоит в ре­шении векторных уравнений, описывающих движение некоторой совокуп­ности звеньев механизма, для которой каждое из этих уравнений содержит не более двух неизвестных геометрических величин. Для механизмов с од­ной степенью свободы такой совокупностью может служить механизм, движение которого задано полностью, с присоединенной к нему группой Ассура.

Рис. 1.8. Кривошипно-ползунный механизм

В соответствии со своим названием метод замкнутого контура пред­полагает построение векторного многоугольника, начало первого вектора у которого совпадает с концом последнего. Для плоских механизмов таким многоугольником служит система векторов, направленных последователь­но от одной кинематической пары к другой.

Так, для кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 1.8, замкнутым контуром может служить система векторов

а в проекции на ось Оу:

Таким образом, имеем два алгебраических уравнения с двумя неиз­вестными величинами, решая которые найдем:

В силу известных ограничений, накладываемых на величину угла, задаваемого функцией агсsin, можно заметить и ограничения на выбор не­известного углового параметра:

Следовательно, выбирая в качестве неизвестного параметра угол по­ворота одного из звеньев механизма, если этот выбор не оговорен заранее, следует следить за тем, чтобы этот угол лежал в заданных пределах.

При необходимости вычисления скоростей и ускорений точек звеньев механизма, координаты которых не вошли в число геометрических пара­метров, определяющих положение механизма, следует воспользоваться векторными формулами плоскопараллельного движения вида (1.4) и (1.7).

В качестве примера определим скорость и ускорение точки С звена О₁В кулисного механизма, изображенного на рис. 1.7,а при следую­щих исходных данных: ω_OA = ω = сonst, ОА = г, О₁O = h= г√3 О₁С = г. В расчетном положении ОА±О₁O.

За геометрические параметры, описывающие положение механизма в текущем положении (при произвольном расположении кривошипа, зада­ваемом углом φ, примем: угол поворота а звена O₁В и расстояние S от оси вращения этого звена до шарнира А. Из векторного уравнения

в проекциях на оси координат хиу (рис. 1.9) имеем:

Продифференцируем по времени уравнения проекций

Рис. 1.9. Текущее положение кулисного механизма

При φ= 0, φ= ω, ά = 30°, S = 2 г получим систему уравнений

Для определения ускорений второй раз продифференцируем уравне­ния проекций:

откуда при φ = 0, φ = ω, φ = 0 и найденных выше значениях имеем:

Выбирая неподвижную точку О₁ звена O₁В за полюс, найдем ускоре­ние точки С:

Силы трения относятся к силам вредных сопротивлений. Они вызывают нагрев и износ трущихся деталей, а также дополнительный расход энергии.

Различают несколько видов трения: трение сухое, трение полусу­хое и трение жидкостное. По видам относительного движения разли­чают: трение качения, трение скольжения, кинетическое трение, трение при ударе, трение покоя ^статическое трение,).

Принято считать в первом приближении, что для сил сухого трения скольжения выполняются законы Кулона-Амонтона:

— сила трения скольжения пропорциональна нормальному давле­нию;

— сила трения зависит от вида материалов и состояния трущихся поверхностей;

— для большинства пар трения сила трения не зависит от относительной скорости скольжения;

— сила трения не зависит от величины площади трущихся поверхностей;

— сила трения покоя больше силы трения при движении;

— сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения;

— сила трения возрастает с увеличением времени контакта. Закон Кулона-Амонтона имеет вид

(2.3)

Трение оказывает существенное влияние на работоспособность поступательной кинематической пары.

Рис. 2.5. Схема сил в кривошипно-ползунном механизме

Рассмотрим условия равновесия кривошипно-ползунного механиз­ма, изображенного на рис. 2.5. Составим уравнения проекций на гори­зонтальную ось х и вертикальную ось у:

Поскольку при равновесии F_ТР≤ f*N, если пренебречь размерами ползуна, то легко заметить, что

Таким образом, независимо от величины Мдв ползун двигаться не будет (т.е. механизм неработоспособен), если

Такое явление хорошо известно из курса теоретической механики, где объясняется, что силы, действующие на материальный объект, находя­щийся на. шероховатой поверхности, должны быть приложены вне угла трения, чтобы сдвинуть этот объект с места. Таким образом, условие ра­ботоспособности механизма (возможности движения ползуна по на­правляющим) имеет вид:

(2.4)

Иной характер носят силовые зависимости при жидкостном трении, основы теории которого разработал Р.Р.Петров в конце 19 в. При относительном движении тел, разделенных жидкостью, наблюдается сдвиг отдельных слоев жидкости друг относительно друга. Таким об­разом, жидкостное трение сводится к вязкому сдвигу, а сила трения определяется в соответствии с формулой

(2.5)

Возникновение жидкостного трения во вращающейся или посту­пательной паре возможно при следующих условиях:

1) смазочная жидкость (смазка) должна удерживаться в зазоре, это обеспечивается превышением силы сцепления между телом и смазкой над силами сцепления между слоями смазки;

2) смазка должна полностью разделять поверхности, что обеспе­чивается соответствующей обработкой трущихся поверхностей;

3) в слое смазки должно быть такое давление, которое уравно­вешивает внешнюю нагрузку, что обеспечивается нагнетанием смазки и клиновидной формой зазора.

(2.6)

(2.7)

В частности, если обратимся к примеру расчета пятизвенного механизма (рис. 1.4), то для звена 2 при т₂ = 10 кг и j_s2 = 1 кг • м 2 полу­чим;

Источник