Матрица алгебраических дополнений как обозначается
Матрица алгебраических дополнений как обозначается
Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.
Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.
Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.
Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.
Простейшие действия с матрицами
1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.
2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.
4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:
Свойства произведения матриц:
Определитель матрицы
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.
Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения
Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.
Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.
Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A –1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:
Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:
Матрица алгебраических дополнений как обозначается
.
Пример. 
.
Определение 3. Алгебраическим дополнением A ij к элементу a ij квадратной матрицы 
называется число A ij = 
.
Пример. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a 33.
.
Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Теорема 2. Сумма попарных произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.
Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.
по первому столбцу
Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют пятое свойство определителя. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.
Как вычислить определитель (детерминант) матрицы? Минор и алгебраическое дополнение
Без преобразования матрицы, определитель легко посчитать только для матриц размером 2×2 и 3×3. Это делается по формулам:
(можно посчитать по любой строке, выше приводиться формула расчёта определителя по первой строке).
Расчёты для матриц размером 4×4 и выше затруднительны, поэтому их нужно преобразовывать в соответствии со свойствами определителя. Нужно стремиться получить матрицу, в которой все значения кроме одного любого столбца или любой строки равны нулю. Пример такой матрицы:
Для неё определитель равен:
Обратите внимание, что
это вычисление детерминанта матрицы, полученой вычетом строки и столбца, на пересечении которых находиться единственное не нулевое числов строки/столбца, по которому мы разлагаем матрицу:
Если привести матрицу к треугольному виду, то её определитель вычисляется как произведение цифр по диагонали. Например, для матрицы
Аналогично следует поступать с матрицами 5×5, 6×6 и другими больших размерностей.
Преобразования матриц нужно выполнять в соответствии со свойствами определителя. Но прежде чем перейти к практике по вычислению определителя для матриц 4×4, давайте вернёмся к матрицам 3×3 и подробно рассмотрим, как вычисляется определитель для них.
Минор
Определитель матрицы не очень прост для понимания, поскольку в его понятии присутствует рекурсия: определитель матрицы состоит из нескольких элементов, в том числе из определителя (других) матриц.
Чтобы не застрять на этом, давайте прямо сейчас (временно) примем, что определитель матрицы
Ещё разберёмся в условных обозначения и в таких понятиях как минор и алгебраическое дополнение.
Буквой i мы обозначаем порядковый номер стоки, буквой j – порядковый номер столбца.
aij означает элемент матрицы (цифру) на пересечении строки i и столбца j.
Представим себе матрицу, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j. Определитель новой матрицы, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j, называется минором Mij элемента aij.
Проиллюстрируем сказанное. Предположим, дана матрица
Тогда для определения минора M11 элемента a11 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением первой строки и первого столбца:
И вычислить для неё определитель: 2*1 — (-4)*0 = 2
Для определения минора M22 элемента a22 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением второй строки и второго столбца:
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением Аij для элемента aij называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма индексов строки и столбца (i + j), на пересечении которых стоит этот элемент, чётная, и со знаком «-», если сумма индексов нечётная.
Для матрицы из предыдущего примера
Вычисление определителя для матриц
Определителем порядка n, соответствующим матрице А, называется число, обозначаемое det A и вычисляемое по формуле:
В этой формуле нам всё уже знакомо, давайте теперь посчитаем определитель матрицы для
Каков бы ни был номер строки i=1,2,…, n или столбца j = 1, 2,…, n определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов этой строки или этого столбца на их алгебраические дополнения, т. е.
Т.е. детерминант можно вычислить по любому столбцу или по любой строке.
Чтобы убедиться в этом, вычислим определитель для матрицы из последнего примера по второму столбцу
Свойства определителя матриц
Для вычисления определителя любого порядка можно применять метод последовательного понижения порядка определителя. Для этого пользуются правилом разложения определителя по элементам строки или столбца. Еще один способ вычисления определителей заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований со строками (или столбцами), прежде всего в соответствии со свойствами 4 и 7 определителей, привести определитель к виду, когда под главной диагональю определителя (определяемой так же, как и для квадратных матриц) все элементы равны нулю. Тогда определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.
При вычислении определителя последовательным понижением порядка для уменьшения объема вычислительной работы целесообразно с помощью свойства 7 определителей добиться обнуления части элементов какой-либо строки или какого-либо столбца определителя, что уменьшит число вычисляемых алгебраических дополнений.
Приведение матрицы к треугольному виду, преобразование матрицы, облегчающее вычисление определителя
Показанные ниже методы нецелесообразно использовать для матриц 3×3, но я предлагаю рассмотреть суть методов на простом примере. Воспользуемся матрицей, для которой мы уже считали определитель — нам будет проще проверить правильность вычислений:
Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, умноженную на 2:
из третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные на 3:
Так как элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, то, следовательно, определитесь равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:
Как видим, ответ совпал с полученными ранее.
Давайте вспомним формулу определителя матрицы:
Детерминант — это сумма алгебраических дополнений, умноженная на члены одной из строк или одного из столбцов.
Если в результате преобразований мы сделаем так, что одна из строк (или столбец) будет состоять полностью из нулей кроме одной позиции, то нам не нужно будет считать все алгебраические дополнения, поскольку они заведомо будут равны нулю. Как и предыдущий метод, этот целесообразно применять для матриц больших размеров.
Покажем пример на той же самой матрице:
Вычислим определитель по второму столбцу. Нам нужно посчитать только одно алгебраическое дополнение, поскольку остальные заведомо сводятся к нулю:
Вычисление определителя для матриц 4×4, 5×5 и больших размерностей
Чтобы избежать слишком больших вычислений для матриц больших размеров следует делать преобразования, описанные выше. Приведём пару примеров.
Вычислить определитесь матрицы
Р е ш е н и е. Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, из четвёртой строки — соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные соответственно на 3, 4, 5. Эти действия сокращённо будем обозначать так: (2) — (1) * 3; (3) — (1) * 4; (4) — (1) * 5. Получим:
Далее, в соответствии с ведёнными обозначениями, выполним действия: (3) — (2) * 8; (4) — (2) * 9. Получаем
Так как элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, то, следовательно, определитесь равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:
Вычислить определитель
Разлагая полученный определитесь по второй строке имеем:
(Затем мы вынесли сомножитель 2 первого столбца на основании свойства 4). Далее прибавим к элементам первого и второго столбца элементы определителя. Получим:
Затем мы вынесли множитель в первом столбце, а затем общий множитель (-1) в первой строке. Разлагая теперь получившийся определитесь третьего порядка по элементам второй строки получим:
Здесь определитесь второго порядка вычислен в соответствии с его определением, по формуле
Вычисление определителя (детерминанта) матрицы wxMaxima и Maxima
В wxMaxima и Maxima для вычисления определителя используется функция determinant:
Для приведения матриц к треугольному виду можно воспользоваться функцией triangularize: