Дорогие друзья. Мы уже вели с вами беседу об опасностях, подстерегающих начинающего математика, физика и инженера. Как бы ни была интересна сама суть науки, для того, чтобы описать эту самую суть, применяется математический аппарат. И вот этот самый аппарат, со своими громоздкими выкладками, приближениями, углами тета фи и кси зачастую уничтожает в студентах всякий интерес к описываемому вопросу. В этой статье мы не будем говорить о том, как подогреть этот интерес, нет. Поговорим о том, как избежать громоздких математических выкладок.
Сразу оговоримся, мы не агитируем за то, чтобы не учиться считать вручную, как раз наоборот. Еще Михаил Васильевич Ломоносов говорил: математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. И он был совершенно прав. Кто сомневается – попробуйте!
Тем не менее, современные объемы информации таковы, что зачастую считать вручную бывает просто физически невозможно. Как быть?
Известно как! Ведь мы уже проводили обзор МАTLAB, скажете Вы. Да, все верно, но помимо матлаба, существуют и другие средства. Для общего развития, их полезно знать. Пакеты Mathcad, Maple, Mathematica, Maxima и еще множество других.
Одно из них – пакет Mathсad. Настолько простая и удобная программа, что мы просто не можем обойти ее стороной.
Изначально Mathсad создавался для решения задач не теоретической, а прикладной математики. Т.е. задач, не требующих глубокого внедрения в математическую суть проблемы, а использующих математику лишь как средство решения. Начиная с 14-й версии, в Mathсad используется символьное ядро MuPAD. При этом, в отличие от более мощной программы Maple, символьное ядро Mathсad искусственно ограничено. Тем не менее, 300 доступных функций обеспечивают возможность для решения большого количества задач инженерного характера. В помощь статья как сделать презентацию в powerpoint.
Еще одно выгодное отличие Mathсad – это интерфейс. Ввод данных является графическим, а не текстовым. Что это значит? Это значит, что Вы не набираете формулы каким-то замудренным методом, а записываете их в рабочее поле в совершенно обычном, привычном книжном виде. Используя для этого или клавиатуру, или перетаскивая значки с панелей инструментов Mathсad.
Для примера, расскажем ниже, как задать функцию в маткаде, а затем построить график функции. Пусть это будет простая функция – с простыми функциями все всегда понятнее. Скажем, f(x)=sinx
затем открываем панельGraph, нажимаем X-Y Plot, и выбираем нужный нам вид графика. Оси для удобства можно подписывать самостоятельно, также график можно растягивать и сжимать.
Рассмотрим ниже некоторые возможности маткада на примерах, в контексте самых популярных и часто используемых его функций. Надеемся, данная информация будет полезна начинающим пользователям. Например, есть общая задача: нужно решить уравнение. Какие способы и встроенные функции предлагает для этого Mathcad? Идем по порядку.
1) Функция root (англ.Root– корень). Данная функция используется для нахождения корней уравнения с одним неизвестным. Запись в Mathcad выглядит следующим образом:
Здесь x – переменная, варьируя значение которой программа будет искать точки пересечения графика y=f(x) с осью абсцисс.
2) Функция find (англ.Find– искать, найти). Известно, что с помощью Mathcad можно решать не только уравнения, но также и уравнения с несколькими переменными, а также системы уравнений, число которых может достигать аж 50-ти. Именно в таких случаях помогает данная функция. При решении системы перед самими уравнениями слудует написать слово given, указывающее программе, что далее соедует система уравнений. Связка given-find возвращает значения переменных, обращающих уравнение в верное тождество. Для случая систем уравнений возвращается в виде вектора. Записывается в виде
А теперь, как это выглядит в рабочем поле маткада, с произвольными значениями
3) Функция minerr. Если функция find позволяет найти только точные значения, то при помощи оператора minerr Вы сможете найти приближенные значения корней уравнения и системы уравнений с равным количеством уравнений и неизвестных. Записывается так:
Minerr(x1, x2, …)
4) На случай решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), когда необходимы операции над матрицами, Mathcad имеет встроенную функцию
Например, представим, что нам нужно решить линейную систему уравнений вида
В матричном виде данная система запишется следующим образом
B- столбец свободных членов. Именно матрица коэффициентов и столбец свободных членов являются аргументами функции lsolve(A, B), возвращающей вектор-столбец решений СЛАУ.
Надеемся, что данная статья будет полезна начинающим пользователямMathcad, а также тем, кто только собирается взяться за его освоение. Можно с уверенностью сказать одно: из всех подобных программ,Mathcadобладает явными преимуществами. Простота интерфейса в сочетании с широким набором возможностей делают эту программу популярной как среди зеленых студентов, так и среди состоявшихся ученых мужей мирового масштаба.
Напоследок, несколько слов о системных требованиях. Как уже говорилось, программа многофункциональна, но по мощности уступает своим аналогам. А значит, маткад будет уверенно чувствовать себя на потрепанном стареньком лэптопе. Для успешной установки Вам понадобится:
— 32-х или 64-х битный процессор с тактовой частотой 400 МГц (рекомендовано 700 МГц)
— 256 МБ ОЗУ (рекомендовано 512 Мб)
— 1,75 Гб свободного пространства на диске
— Видеокарта SVGA или выше, монитор, поддерживающий разрешение 1024×768 и выше
Удачи в учебе! И помните, ничего сверхсложного в решении, казалось бы, громоздких задач, нет. Немного усердия, немного практики, и дело пойдет на лад. В принципе, не бывает нерешаемых задач, нужен только верный подход. А если Вам нужна консультация, по любому вопросу смело обращайтесь к нашим специалистам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Сразу после запуска система готова к созданию документа с необходимыми вычислениями. Окно содержит строку заголовка с именем системы и текущего документа, строку с пунктами меню, открывающими доступ к подменю с различными командами, рабочую область, строку состояния, всплывающие или контекстные, меню, диалоговые окна (рис. 1).
1.1. Панели инструментов
Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд. Имеются следующие панели инструментов:
Стандартная ‑ обеспечивающая быстрое выполнение наиболее важных команд при работе с системой
Рис. 2. Панель Стандартная
Рис. 3. Панель Форматирование
В состав панели Математика входят следующие панели:
Рис. 4. Математическая панель
2. Работа в математической области
Документ Mathcad состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических.
Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.
2.1. Курсоры Mathcad
Курсор MathCAD принимает три различные формы:
2.2. Константы и переменные
Константа в системе Mathcad ‑ это величина, значение которой известно до начала вычислений, и оно не меняется в процессе вычислений.
В MathCAD применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.
Переменная в системе Mathcad ‑ это величина, которая на разных этапах вычислений может принимать различные значения.
Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов.
Переменные могут быть размерными, т.е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят.
Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами.
Идентификаторы MathCAD должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы:
Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха, символа процента, не могут включать в себя пробелы. Символ бесконечности может быть только первым символом в имени.
Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц измерения и функций. Имена можно переопределить, но следует учитывать, что это уничтожит их встроенные значения и этими константами и функциями пользоваться будет нельзя.
2.3. Операторы
Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с клавиатуры и панели МатематикаðКалькулятор. Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов МатематикаðМатематический анализ.
Результатом действия логических или булевых операторов являются только числа 1 (если логическое выражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (если логическое выражение ложно).
Вычислительные операторы сгруппированы на панели Вычисление.
В таблице 1 представлены основные арифметические операции и способы их набора.
Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана Bauman National Library
Персональные инструменты
Методическое пособие по программе Mathcad
Содержание
Возможности «Mathcad»
Пакет программ «Mathcad» позволяет выполнять математические расчёты с помощью компьютера в среде операционной системы «Windows».
«Mathcad» включает множество операторов, встроенных функций и алгоритмов решения разнообразных математических задач, которые прямо приложимы ко всему комплексу вопросов, рассматриваемых в рамках самых разнообразных научно-технических дисциплин. «Mathcad» обладает повышенной точностью и быстродействием вычислений повышенной степени сложности, используя 32-разрядную память.
С помощью «Mathcad» можно решать следующие математические задачи:
Основы языка «Mathcad»
Язык, на котором изъясняются в среде «Mathcad» для изображения констант, переменных величин, операторов, функций, уравнений и иных математических записей, практически полностью совпадает с общепринятым в математике.
Громадный набор стандартных функций: тригонометрических и обратных им,гиперболических и обратных им, показательных и логарифмических, функций комплексного аргумента, специальных (Беcселя, Чебышева, Лагера, Лэжандра, Эрмита, гамма и других), статистических, финансовых, связанных с разнообразными преобразованиями и поиском оптимальных решений и т. д., представлены подменю «Встроенные функции» и на математических инструментальных панелях. Путем обращения к этим встроенным в пакет «Mathcad» функциям можно выполнять самые разнообразные компьютерные вычисления.
Знаки всех математических операций, как арифметических (сложение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня и т. д.), так и относящихся к высшей математике (интегрирование, дифференцирование, связанных с матричным и векторным исчислением и т. д.) в пакете «Mathcad» совладают с общепринятыми в математике.
Шесть правил вычислений в среде «Mathcad»
Реализация численного способа осуществляется: — путем обращения к панелям математических инструментов из меню «Вид»;
Реализация символьного способа, при котором происходит преобразование одного математического выражения в другое, осуществляется:
1-е правило, связанное с обращением к панелям математических инструментов из меню «Вид»: «Арифметика», «Матрицы» и
«Математический анализ» (Исчисления»), позволяет получить результат в виде числа. Сначала щелчком вызывается соответствующую панель инструментов, а затем производится щелчок по требуемой пиктограмме (кнопке), после чего в рабочей области текстового окна в месте установки красного визира появляется определенное выражение. Вписывание в него исходных данных и ввод знака равенства дает числовой результат.
Вписываем в него значения верхнего и нижнего пределов интегрирования, а под знаком интеграла заданную функцию, вводим знак =, после чего автоматически получаем результат:
Символьный знак равенства → при дифференцировании, и т.д. После щелчка по выбранному ключевому слову к записи автоматически добавляется это слово и символический знак равенства →, После второго щелчка вне рамки записи автоматически появляется результат в виде нового символьного выражения, полученного из исходного в результате преобразования.
После щечка на рабочем листе появляется результат в виде нового выражения, располагаемого под исходной записью.
2 a 4 − 6 a b 2 + 5 a 5 − 15 a 2 b 2 + 8 b 2 a 3 − 24 b 4 <\displaystyle
6-е правило, также связанное с обращением к меню «Символы», позволяет произвести разнообразные символьные преобразования, записав в рабочей области текстового окна подлежащее преобразованию выражение.
Примеры, относящиеся к данному правилу, рассматриваются ниже. Сведем в табл. 1 шесть сформулированных правил по реализации численного и символьного методов решения разнообразных математиче-ских задач в среде «Mathcad».
№ правила
Обращение
1
К панелям математических инструментов из меню «Вид»: «Арифметика», «Матрицы» и «Математический анализ»
=
Число
2
К встроенным функциям f(x) из меню «Вставка»
=
Число
3
С помощью клавиатуры
5
К меню «Символы», подменю «Расчеты»
Символ
6
К меню «Символы», подменю «Перемен-ные», «Матрица», «Преобразования»
Символ
Редактирование программы
Удаление математических выражений.
Перенос математических выражений
Вписывание в программу текстовых комментариев.
Построение графиков
Рассмотрим сначала на конкретном примере методику построения двухмерного графика декартовой системе координат. Пример 1. Требуется построить график функции:
B=10, F1=5, \alpha=-0,5.> Вызываем панели «Арифметика» и «Греческий алфавит». В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам «Mathcad» исходные данные и функцию.Вызываем панель «График», щелчок по пиктограмме «Декартов гра-фик», в месте установки красного визира появляется прямоугольная рамка с осями абсцисс и ординат. График должен располагаться ниже формулы.
После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика. Устанавливаем требуемые крайние значения аргумента по оси абсцисс (0. 5) и функции по оси ординат(-10. 10).
Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам ле-вой клавиши «мыши» вызываем диалоговое окно, позволяющее выбирать вид масштаба по осям (равномерный или логарифмический); количество вспомогательных линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика.
В результате получаем график заданной функции, представленный на рис. Пример 2. Требуется построить график полинома Чебышева 1-го рода 6-го порядка: F ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 <\displaystyle
Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам левой клавиши «мыши» вызываем диалоговое окно: выбираем логарифмический масштаб по оси ординат; количество линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика. Строим два графика заданной функции: при равномерном и логарифмическом масштабе по оси ординат.
После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика в полярной системе координат. Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам левой клавиши «мыши» вызываем диалоговое окно, позволяющее выбирать вид масштаба по осям (равномерный или логарифмический); количество вспомогательных линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика. В результате получаем график заданной функции на рис.
Удаление, копирование и перенос графиков осуществляется по той же методике, что и математических выражений. Изменение размера графика осуществляется путем протаскивания курсора, установленного на обрамляющей его рамке.
Разложение функции в степенной ряд
Основные определения. При решении многих научно-технических задач прикладного свойства возникает необходимость в представлении определенной функции F(x) в виде степенного ряда:
Разложение функции в степенной ряд в среде «Mathcad».
Возможны два способа разложения функции F(x) в степенной ряд согласно ( 1 ) <\displaystyle
Решение по правилу 6.
Само разложение функции в степенной ряд ( 2 ) <\displaystyle
\color (2)> осуществляется путем обращения к опции «Разложить на составляющие» в меню «Символ», подменю «Переменные». После щелчка появляется окно, в котором следует установить порядок аппроксимации, т. е. наивысшую степень n степенного ряда ( 2 ) <\displaystyle
Первый пример показывает, как можно упорядочить многочлен, сгруппировав в нем переменные, относящиеся к переменной x <\displaystyle
x> со степенью включительно по ( n − 1 ) <\displaystyle
Решение по правилу 4. Записываем функцию F(x), разлагаемую в степенной ряд, и с помощью курсора обрамляем ее пунктирной линей, после чего вызываем инструментальную панель «Символы» и щелчком функцию series. На рабочем листе появляется запись:
Примеры расчета по правилу 4 приведены на рис. Отметим, что результаты расчета по обоим способам совпадают.
Разложение функции на элементарные дроби
Основные определения. Любое отношение двух функций, представляющих собой многочлены:
n> элементарных дробей, соответствующих корням многочлена P ( x ) <\displaystyle
\color (3)> на элементарные дроби осуществляется путем обращения к меню «Символ», подменю «Переменные», опции «Преобразование в частичные доли» согласно правилу 6. После щелчка на рабочем листе появляется результат разложения функции F ( x ) <\displaystyle
F(x)> в виде суммы элементарных дробей. Примеры такого разложения приведены на рис.
В обоих примерах после разложения на дроби проводится проверка полученного результата для произвольно выбранных частных случаев: рассчитывается значение исходной функции и после ее разложения на дроби. Во всех случаях результаты в точности совпадают.
Комплексные числа
Возможны два способа преобразования и вычисления математических выражений, содержащих комплексные числа, в среде «Mathcad».
-путем обращения к разделу «Комплексные числа» в подменю встроенные функции f ( x ) <\displaystyle
правилу 4. При обоих методах в начале программы следует ввести обозначение комплексной единицы:
Примеры перечисленных действий с комплексными числами с помощью данного способа приведены на рис.
Решение по правилу 2. При данном способе сначала записывается комплексное выражение, подлежащее преобразованию. Затем путем обращения к инструментальной математической панели «Символы» вызывается ключевое слово «complexh. Запись приобретает вид:
F ( x + i × y ) c o m p l e x →
После щелчка вне рамки записи автоматически появляется результат в алгебраической форме комплексного числа. Примеры перечисленных действий с комплексными числами с помощью данного способа приведены на рис.
Матричные вычисления
Сама матрица или вектор вызываются путем щелчка на панели инструментов по кнопке «Матрица», после чего появляется окно, в котором необходимо указать, какое количество строк и столбцов должна иметь формируемая матрица или вектор. После ввода необходимых чисел или переменных и команды «ОК» или «Вставить» на экране появляется матрица, в ячейки которой вводятся заданные числа или величины. Так, например, при формировании матрицы размером 3×3 она будет иметь вид:
Рассмотрим применение всех способов обращения с матрицами на примерах.
С помощью той же инструментальной математической панели «Матрица», обратившись к соответствующим кнопкам, можно вычислить скалярное и векторное произведение двух векторов в прямоугольной декартовой системе координат. Примеры таких вычислений представлены на рис.
Использование функции Isolve из категории «Вектор и матрица» для решения системы линейных алгебраических уравнений рассматривается ниже.
Операции по правилу 6. С помощью данного способа можно осуществлять как преобразования, так и вычисления матриц с элементами, представленными в виде переменных величин и чисел. После записи матрицы, подлежащей преобразованию, ее необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. Затем следует обратиться к меню «Символ», подменю «Матрицы» и выполнить одну из трех возможных опций: инвертирование (обращение), транспонирование или вычисление определителя. После щечка на рабочем листе появляется результат в виде вновь сформированной матрицы или определителя, располагаемые под исходной. Примеры выполнения данных операций приведены на рис.
Операции по правилу 5. После записи группы матриц, связанных определенными знаками математических операций (например, умножение или суммирование), их необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. Затем следует обратиться к меню «Символ», подменю «Расчеты», опция «символические». После щечка на рабочем листе появляется результат в виде вновь сформированной матрицы, располагаемой под исходной записью. Примеры выполнения данных символьных вычислений приведены на рис.
Операции по правилу 4. С помощью данного способа можно осуществлять преобразования, как одной, так сразу и группы матриц, связанных определенными знаками математических операций (например, умножение или суммирование) с элементами, представленными в виде переменных величин и чисел. После записи матрицы, подлежащей преобразованию, ее необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. В случае группы матриц их следует заключить в общие скобки и всю запись обрамить пунктирной линией. Затем следует обратиться к инструментальной математической панели «Символы» и вызывать одно из трех ключевых слов: M T <\displaystyle
M^T > —►(транспонирование), M − 1 <\displaystyle
\left| M \right| > —► (определитель). После щелчка по выбранному ключевому слову запись принимает вид [ M ] <\displaystyle
Методы решения системы линейных уравнений в среде «Mathcad».
Возможны два способа нахождения решений системы линейных уравнений в среде «Mathcad» при определителе D ≠ 0 <\displaystyle
Открываем рабочий лист и согласно уравнениям с использованием инструментальной математической панели «Матрица» записываем в разделе «Data» матрицу коэффициентов [А] и вектор правых частей уравнений [В]. В качестве примера рассматриваем решение системы из 5-ти линейных уравнений с 5-ю неизвестными.
Решение по правилу 2. Вводим имя вектора искомого решения X <\displaystyle
X> и знак присвоения: X := <\displaystyle
Y= > » получаем результат в виде вектора.
Из данного примера видно, как можно быстро, при записи всего одной строчки, получить в среде «Mathcad» решение даже при увеличенном числе линейных уравнений.
Числовые ряды
Числовым рядом называется выражение, составленное из бесконечной последовательности чисел:
При существовании предела S m = S <\displaystyle
Язык «Mathcad» предлагает несколько способов организации такого циклического расчета. Самый простой из них состоит в использовании оператора цикла « m ⋯ n <\displaystyle
m \cdots n > », пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов «Матрица». После вызова щелчком этого оператора в него следует ввести значения нижнего и верхнего пределов:
M > 0 > все значения функции при 0 k M <\displaystyle
0 принимают значения, равные 0. Аргумент X k = Δ × k <\displaystyle
X_k = \Delta \times k > при циклическом расчете изменяется с «шагом» (дискретом) Δ, значение которого может быть выбрано любым.
Приведем пример такого циклического расчета.
\Delta=0,01\pi > затухающий колебательный процесс, описываемый функцией y ( t ) <\displaystyle
Сначала строим график непрерывной функции y ( t ) <\displaystyle
k:=0 \cdots N > и выражений для аргумента t k <\displaystyle
t_k > и дискретной функции Y k ( t k ) <\displaystyle
Y_k> осуществляется путем записи Y = <\displaystyle
Дифференцирование функций
Возможны пять способов дифференцирования функций в среде «Mathcad» :
