Математика комплексные числа как решать

12.01.202315.01.2023 admin 0 Comments

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Комплексные числа на ЕГЭ по математике

Что такое комплексные числа

Все знают, что ЕГЭ по математике Профильного уровня в ближайшие годы будет меняться. Например, предлагается добавить в школьную программу по математике тему «Комплексные числа». Но что же это такое?

Начнем с хорошо известных вам фактов.

Вспомним, что возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Если положительное число возвести в квадрат — результат будет положительный.

Число 2 называют арифметическим квадратным корнем из 4, то есть

А можно ли какое-нибудь число возвести в квадрат, чтобы результат получился отрицательный? И если нет, то почему?

Ведь отрицательные числа ничем не хуже положительных. Баланс мобильного телефона может быть положительным или отрицательным. Температура может быть равна +5 градусов Цельсия, а может быть и минус 5 градусов. На числовой оси положительные и отрицательные числа расположены симметрично. Почему же из положительных чисел квадратный корень извлекать можно, из нуля тоже можно (он равен нулю), а из отрицательных нельзя?

И называется это число мнимой единицей, а обозначается буквой

Вот какая необычная формула получилась:

Получается, что уравнение имеет 2 решения: i и минус i.

Теперь нам не страшны квадратные уравнения, в которых дискриминант отрицателен.

Числа вида называются комплексными. При этом х называется действительной частью комплексного числа z, а у — его мнимой частью.

Записывается это так:

Сокращения понятны тем, кто изучает английский: Re — Real, Im — Imaginary.

Помните, мы говорили о том, какие бывают числа?

Натуральные числа применяются для счета предметов. Множество натуральных чисел обозначается N.

Рациональные числа — те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби вида р/q, где р — целое, q — натуральное. Например, — числа рациональные. Мы проходили их в начальной и средней школе. Если рациональное число записать в виде десятичной дроби, она будет периодической, например, Множество рациональных чисел обозначается Q и содержит в себе множество целых чисел.

В старших классах мы узнали об иррациональных числах — таких, как или Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби, а если выразить в виде десятичной — она будет бесконечной непериодической. И казалось, что мы знаем о числах всё. Все числа, какие только нам встречались, входили в множество действительных чисел R.

Когда мы пишем: — это значит, что число х действительное. Мы помним, что действительные числа можно изображать точками на числовой прямой, которую еще называют действительной осью.

А теперь оказывается, что R — это подмножество множества комплексных чисел С.

Действительные числа еще называют «вещественными». Они описывают наш вещественный мир. В самом деле, натуральные числа применяем для счета предметов. С дробями тоже понятно: половинка яблока или пиццы. С отрицательными числами все знакомы: достаточно зимой посмотреть на градусник за окном. И даже иррациональные числа можно «увидеть»: например, длина окружности радиуса 1 или диагональ квадрата со стороной 1 являются иррациональными числами.

Но где же в мире — мнимые и комплексные числа? Неужели они нужны для описания того, что мы не можем потрогать или посчитать по пальцам?

Комплексная плоскость

Где же находятся мнимые числа, если на числовой прямой для них места нет?

Очень просто. Мнимые числа — на мнимой оси. А комплексные числа вида — на комплексной плоскости.

Каждому комплексному число соответствует точка на комплексной плоскости.

Расстояние от нуля до этой точки называется модулем комплексного числа:

Угол между направлением на эту точку и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа:

Аргумент комплексного числа определен с точностью до

Аналогично в тригонометрии: каждая точка на единичной окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на где k — целое.

— главное значение аргумента

Иногда главное значение аргумента комплексного числа определяют на отрезке

Комплексное число можно записать как в алгебраической форме так и в тригонометрической.

Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.

При переходе от алгебраической формы записи к тригонометрической считаем, что принимает значения

Обратите внимание, что в записи число х — действительное.

Задача 1. Запишите число

в тригонометрической форме.

Как видим, для освоения темы «Комплексные числа» надо отлично знать тригонометрию.

Действия над комплексными числами

Два комплексных числа равны друг другу, если равны соответственно их действительные и мнимые части.

Сравнивать комплексные числа нельзя. Операции «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными. Вот такие:

Возьмем два комплексных числа:

Определим для них операции сложения и вычитания.

Сложение:

Так же, как и для действительных чисел, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения). Также выполняется ассоциативность сложения, то есть

Еще одно важное свойство:

Это знакомое нам неравенство треугольника.

Вычитание:

— расстояние между точками и

Задача 2. Определите, какая фигура на комплексной плоскости является решением уравнения

Прочитаем это уравнение так же, как мы делали с обычными уравнениями с модулем. Расстояние от точки z до точки 2i равно 1. Это значит, что точки, соответствующие решениям данного уравнения, лежат на окружности с центром в точке радиусом 1.

Если сложение и вычитание комплексных чисел вопросов не вызывают, то для умножения правила не такие очевидные. Вот какой будет формула произведения комплексных чисел:

Например, подставив в эту формулу получим уже знакомое равенство:

Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных:

Но если умножение комплексных чисел настолько сложно — что же делать с возведением в степень? Оказывается, что и умножение, и возведение комплексных чисел в степень удобнее выполнять, записывая числа в тригонометрической форме.

Возведение в степень:

Последнее равенство называется формула Муавра.

Деление комплексных чисел определяем как действие, обратное умножению.

Сложные формулы, не правда ли? Попробуем применить.

Намного удобнее выполнять деление комплексных чисел, записав их в тригонометрической форме:

Во-вторых, для любого выражение принимает ровно различных значений.

Тогда Записав число z в тригонометрической форме, получим:

Обратите внимание — для корня n-ной степени получим различных значений корня.

Задача ЕГЭ-2022, Комплексные числа

Решим задачу из варианта ЕГЭ — 2022 по теме «Комплексные числа».

Про комплексное число известно, что

Найдите наименьшее значение

1 способ.

Расстояния от точки, соответствующей числу z, до точек и должны быть равны. Отметим точки и на комплексной плоскости. Равноудаленными от точек и будут все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему и По условию задачи, из этих точек надо выбрать такую, для которой принимает наименьшее значение, то есть наименее удаленную от начала координат. Другими словами — найдем расстояние от начала координат до данной прямой.

Это показано на рисунке. Точка Н соответствует комплексному числу z, лежащему на прямой, все точки которой равноудалены от и при этом расстояние от 0 до z — наименьшее. Найдем это расстояние (равное ОН) из прямоугольного треугольника АОВ. Его катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Записав площадь треугольника АОВ двумя способами, получим:

2 способ.

Вернемся к выражению

Запишем его в виде:

Мы получили, что модули двух комплексных чисел равны. Модуль комплексного числа равен Возведя это выражение в квадрат, получим, что Значит, если равны модули двух комплексных чисел и то

и найдем наименьшее значение выражения

Еще несколько задач по теме «Комплексные числа»:

Представьте в тригонометрической форме числа:

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.