Как выполнять действия в скобках
Порядок действий
Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.
Порядок действий без скобок
Установленный порядок арифметических действий без скобок:
Порядок действий со скобками
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.
В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.
Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.
Дробная черта
Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:
Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:
нельзя заменить на
потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.
| 20 : 4(2 + 3) ≠ | 20 | ; |
| 4(2 + 3) |
| 20 | = 20 : (4(2 + 3)). |
| 4(2 + 3) |
Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.
Порядок выполнения действий
В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.
1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.
Например, 
В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:
Полностью пример записываем так:
Например, 
В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:
Полностью пример записываем так:
15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2
2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.
Полностью пример записываем так:
3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.
Полностью пример записываем так:
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.
Полностью пример записываем так:
42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44
Вывод:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Порядок действий в математике
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!
Правила выполнения математических действий
Основные операции в математике
Основными действиями являются:
Наряду с этими операциями предусмотрены отношения:
Сложение является операцией для объединения пары слагаемых.
Сложение записывают таким образом:
5, 1 — слагаемые, 6 — сумма.
Вычитание — операция, которая является обратным действием сложению.
Записывать вычитание следует таким образом:
10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.
При сложении разности в виде 9 и вычитаемого в виде 1 можно получить 10, которое является уменьшаемым. Сложение можно проверить вычитанием:
Умножение является действием в арифметике и имеет вид сокращенной записи сложения идентичных слагаемых.
В данном случае 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
Множимое и множитель можно поменять местами. При этом произведение не поменяется:
В связи с этим, множитель и множимое являются сомножителями.
Деление — арифметическая операция, которая является обратным действием умножению.
Деление, в том числе для многочленов, записывают таким образом:
При умножении делителя на частное получаем делимое, то есть:
В некоторых уравнениях можно встретить на месте частного не целое число. В таком случае его допустимо записать в виде дроби.
Возведение в степень является действием умножения числа на самого себя несколько раз.
Основанием степени является число, повторяющееся сомножителем конкретное количество раз. Роль показателя степени играет число, указывающее на то количество раз, которое берется одинаковый множитель. Степень — число, являющееся результатом взаимодействия основания и показателя степени.
Здесь 3 является основанием степени, 4 определяется, как показатель степени, 81 называют степенью.
Вторая степень — квадрат, а третья степень — куб. Первая степень числа является самим числом.
В данном случае 81 является подкоренным числом, 4 — показатель корня, 3 — корень.
С целью проверки операции по извлечению корня можно возвести 3 в степень 4, что в результате дает 81:
Квадратный корень — это корень второй степени:
Если предполагается запись квадратного корня, то показатель корня допускается не записывать:
Кубический корень — это корень третьей степени:
Сложение является обратным действием вычитанию, умножение — делению, возведение в степень — извлечению корня, и наоборот.
Порядок вычисления простых выражений
Перед решением простых уравнений полезно ознакомиться с последовательностью действий:
Рассмотреть это правило можно на практике.
Нужно решить письменное уравнение:
В первую очередь следует проверить, есть ли скобки для группировки элементов выражения. Здесь они отсутствуют, как и операции умножения и деления. Тогда можно выполнять действия, руководствуясь стандартным алгоритмом, описанным выше: витаем 2 из 11, складываем остаток с 5, в результате получим 14.
11 – 2 + 5 = 9 + 5 = 14
Скобки в данном примере отсутствуют, но имеются операции деления и умножения. При их обнаружении нужно с помощью правила последовательно выполнять действия, двигаясь слева направо: 10 делим на 2, полученное число умножаем на 7, результат делим на 5.
10 ÷ 2 × 7 ÷ 5 = 5 × 7 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7
В процессе изучения данной темы, пока опыта еще не достаточно, полезно расставлять над знаками арифметических операций цифры в порядке их выполнения. Такая работа значительно упрощает вычисления и исключает ошибки.
Что такое действия первой и второй ступени
В учебной литературе по математике можно встретить такие понятия, как действие первой и второй ступени:
В том случае, когда в выражении отсутствуют скобки, операции выполняются в следующем порядке:
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Наличие в выражении скобок изменяет стандартный алгоритм арифметических операций. Это своеобразный индикатор для действий, которые должны быть выполнены в первую очередь.
В первую очередь следует выполнить операции, заключенные в скобках. При этом важно соблюдать стандартный порядок действий, то есть слева направо умножать и делить, а далее — складывать и вычитать.
Выражения, заключенные в скобках, являются составными компонентами начального выражения. Для таких выражений стандартный алгоритм действий остается без изменений. Рассмотреть вычисления можно на практических примерах.
Так как в выражении есть скобки, в первую очередь нужно выполнить действия в этих скобках:
Руководствуясь стандартным алгоритмом, сначала умножаем, затем — вычитаем:
Перейдем ко второму выражению, заключенному в скобках:
Так как в данном случае имеется лишь вычитание, выполняем действие:
Результаты, которые получили при решении выражений в скобках, следует подставить в начальное выражение:
Сначала нужно умножить, затем поделить, а далее выполнить сложение:
10 + 2 × 8 ÷ 2 = 10 + 16 ÷ 2 = 10 + 8 = 18
Порядок действий в выражениях без скобок
В данном случае присутствуют действия сложения и вычитания, которые следует выполнять по порядку, двигаясь слева направо.
Здесь умножение и деление. Данные арифметические операции также выполняем по порядку, начиная с левой стороны, двигаясь в правую сторону.
Когда выражения содержат операции сложение и вычитание, либо деление и умножение, то вычисления нужно выполнять по порядку слева направо.
Нередко встречаются примеры, где есть сложение и вычитание, а также умножение и деление. Тогда в первую очередь делят и умножают по порядку, а на втором этапе складывают и вычитают также в определенном порядке.
Решение примеров
Согласно стандартному алгоритму, проверяем наличие скобок. Так как скобки имеются, начинаем с них:
Полученный результат следует подставить в исходное выражение:
Скобки отсутствуют, но есть умножение, которое необходимо выполнить в первую очередь:
Подставим результат в начальное выражение:
Решим полученное выражение:
Если сразу обозначить порядок действий, то запись примет вид:
Как решать примеры со скобками
С порядком выполнения действий в математических примерах часто возникает путаница. Ситуация осложняется, когда появляются скобки, которые могут не просто разделять длинное выражение на отдельные части, но и менять порядок действий.
«Бери и Делай» собрал в одной статье все, о чем нужно помнить, когда вы решаете примеры со скобками.
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок
Для решения простых примеров без скобок, вычисления корней и дробей достаточно запомнить правила:
Как это применяется на практике?
Пример № 1. Вычислите: 15 − 3 + 7.
Сначала выполняем все действия по порядку слева направо:
Получаем ответ: 15 − 3 + 7 = 19.
Пример № 2. Вычислите: 10 ÷ 2 × 8.
Здесь тоже выполняем все действия по порядку слева направо:
Получаем ответ: 10 ÷ 2 × 8 = 40.
Пример № 3. Вычислите: 5 × 4 − 8 ÷ 2.
Здесь тоже двигаемся слева направо, но держим в уме правило о том, что умножение и деление необходимо выполнить в первую очередь. Поэтому действуем так:
1) 5 × 4 = 20. Это умножение, и оно стоит на первом месте, если двигаться слева направо.
2) 8 ÷ 2 = 4. Это деление, и у него есть приоритет перед действием вычитания, поэтому, несмотря на то, что оно находится правее, из-за приоритета мы выполняем его сразу после умножения.
3) 20 − 4 = 16. Здесь по порядку: выполнив умножение и деление, переходим к вычитанию.
Получаем ответ: 5 × 4 − 8 ÷ 2 = 16.
Если выражение состоит из нескольких действий или вы только учите их порядок, можно над знаками арифметических действий проставлять числа, подсказывающие порядок выполнения вычислений, как на картинке выше.
Важно: Скобки не нужно ставить, если действия сложения и вычитания выполняются в последовательности слева направо. К примеру, вместо (4 − 2) + 3 достаточно написать просто 4 − 2 + 3. Также нет необходимости добавлять скобки, чтобы выделить действия, которые и так имеют приоритет. К примеру, вместо 5 + (4 × 3) достаточно написать лишь 5 + 4 × 3, так как в этом случае действие умножения и без скобок имеет приоритет перед действием сложения.
Порядок выполнения действий в выражениях со скобками
Выражение может содержать скобки, задача которых — изменить привычный порядок выполнения математических действий. Чтобы не запутаться, запомните следующие правила:
Как это применяется на практике?
Пример № 1. Вычислите: 5 × (8 − 4) ÷ 2.
Следуя вышеуказанным правилам, сначала выполним действие в скобках, а затем по порядку все остальные. Тогда получается:
Зная результат действия в скобках, в черновике для удобства мы можем записать выражение как 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 5 × 4 ÷ 2. Теперь по порядку выполним действия умножения и деления:
Получаем, что 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.
Ответ: 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.
Пример № 2. Вычислите и сравните результаты: 7 − 3 + 2 и 7 − (3 + 2).
Вычислим результат первого выражения: 7 − 3 + 2 = 6. Теперь посчитаем результат второго выражения: 7 − (3 + 2) = 7 − 5 = 2. Наличие скобок во втором примере изменило порядок действий, поэтому результаты двух выражений различаются.
Пример № 3. Вычислите 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2).
На первый взгляд, это выражение кажется сложным. Чтобы упростить процесс вычисления, разложите его на отдельные действия по порядку:
1) Сначала выполните действия в скобках. Чтобы получить результат выражения в первых скобках, нужно вспомнить о том, какие действия имеют приоритет. Таким образом, сначала вычисляем 4 × 3, затем результат вычитаем из числа 15. Получаем в ответе 3. Проделайте то же самое со вторыми скобками: вычислите 3 × 2 и к результату прибавьте 7. В ответе получаете 13.
2) Зная результаты вычислений в скобках, в черновике вы можете упростить выражение до вида: 8 − 2 × 3 + 13. Теперь нужно выполнить умножение, а затем по порядку вычитание и сложение: 8 − 6 + 13 = 2 +13 = 15. Получаем ответ: 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2) = 15.
Важно: Можно встретить выражения, где в одних скобках содержатся другие скобки. В этом случае действия аналогичные: сначала надо вычислить результат выражения во внутренних скобках, затем работать с внешними и в конце перейти к тому, что находится вне скобок. Кроме того, вид скобок может различаться: чаще всего это ( ), но допускается также использование < >и [ ].
Распространенные ошибки, из-за которых большинство неверно решают примеры со скобками
К примеру, нужно вычислить, чему равно выражение 8 + 4(3 − 1). Решая этот пример, можно по ошибке сначала посчитать результат вычитания в скобках, затем результат сложения, после чего перемножить полученные числа. Правильный порядок иной: сначала получаем результат вычитания в скобках, затем умножаем его на 4, после чего прибавляем полученное число к 8. Получается следующее: 8 + 4(3 − 1) = 8 + 4 × (3 − 1) = 8 + 4 × 2 = 8 + 8 = 16.
Чуть сложнее может выглядеть вот такое выражение: 8 ÷ 4(3 − 1). Здесь алгоритм действий аналогичный. Сначала выполняем действия в скобках, затем по порядку слева направо нужно выполнить деление и умножение: 8 ÷ 4 × (3 − 1) = 8 ÷ 4 × 2 = 2 × 2 = 4.
Бывают ситуации, когда скобки надо раскрыть, чтобы упростить выражение. В таком случае, если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобки вместе с минусом опускаются, а знаки всех слагаемых, которые были внутри скобок, заменяются на противоположные, как если бы вы каждое число умножили на −1. К примеру, выражение 6 + 5 − (4 + 3 − 2) при раскрытии скобок превращается в 6 + 5 − 4 − 3 + 2. Чаще всего ошибки допускаются в выражениях, где есть переменные и много действий, к примеру: 3 + 2(x + 1) − 2(x − 1). Не зная значение переменной, мы не можем посчитать результат выражения в скобках, поэтому необходимо избавиться от скобок и упростить выражение до вида 3 + 2х + 2 − 2х + 2 = 7. Если скобки раскрыть неправильно, то можно получить 3 + 2х + 2 − 2х — 2 = 3.
Далеко не все калькуляторы способны выполнить действия в правильном порядке, хотя есть модели, которые запрограммированы отделять простые операции от сложных вычислений в рамках одного выражения. Как проверить свой калькулятор? Попробуйте найти результат выражения 1 + 5 × 7. Если в ответе получилось 36, значит, калькулятор может решать сложные примеры, выполняя действия в правильном порядке.