Как выглядит правильная шестиугольная пирамида
Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде
Шестиугольная пирамида
В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.
Вам будет интересно: Удивительные факты о лошадях
И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.
Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?
В отличие от математики, которую преподают в университетах, школьная наука обучает обходить стороной и упрощать некоторые сложные понятия. Например, если не известно, как найти площадь фигуры, то приходится делить ее на части и уже по известным формулам площадей разделенных фигур находить ответ. Такому принципу нужно последовать и в представленном случае.
То есть, чтобы найти площадь поверхности всей шестиугольной пирамиды, надо найти площадь основания, затем площадь одной из боковых сторон и умножить ее на 6.
Применяются такие формулы:
Для того чтобы найти площадь всей поверхности или какой-либо ее составляющей, требуется всего лишь сторона основания шестиугольной пирамиды и апофема. Если в задаче дано это в условии, то решение не должно составить труда.
С объемом дела обстоят намного легче, но чтобы его найти, нужна высота (h) самой шестиугольной пирамиды. Ну и, конечно же, сторона основания, благодаря которой нужно найти ее площадь.
Формула выглядит следующим образом:
Вариант задачи, который может попасться на экзамене
Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Длина основания равна 3 см. Высота составляет 5 см. Найти объем данной фигуры.
Решение: V = 1/3 × (3√3/2 × 32) × 5 = 5/3 × √3/6 = 5√3/18.
Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды составляет 5√3/18 см.
Правильная шестиугольная пирамида
Популярное
Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара и отражают особенности человеческой души. Тайные людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий. В.
Можно ли представить икосаэдр в виде более простых многогранников.
Статья в журнале «Наука и Жизнь» рассказывает о достаточно необычном способе построения многогранников.
Монумент «Звезда Кеплера» (норв. Keplerstjernen), высотой 45 метров, расположен недалеко от города Осло (Норвегия) в окрестностях аэропорта.
Для Вашего удобства мы снизили стоимость доставки наборов «Волшебные грани» в разы!
(головоломка «звезда») Состоит из шести симметричных брусочков сложной формы, соединенных в форме многогранной звезды. Задача заключается в том, чтобы разъединить фигуру на.
Правильная шестиугольная пирамида. Формулы объема и площади поверхности. Решение геометрической задачи
Стереометрия, как раздел геометрии в пространстве, изучает свойства призм, цилиндров, конусов, шаров, пирамид и других объемных фигур. Данная статья посвящена подробному рассмотрению характеристик и свойств шестиугольной правильной пирамиды.
Какая пирамида будет изучаться
Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.
Вам будет интересно: Топ-10 самых правильных переводчиков
Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.
Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:
Площадь поверхности
Свойства правильной пирамиды шестиугольной начнем рассматривать с определения ее площади. Для этого сначала полезно привести развертку фигуры на плоскости. Схематическое ее изображение показано ниже.
Видно, что площадь развертки, а значит, и всей поверхности рассматриваемой фигуры, равна сумме площадей шести одинаковых треугольников и одного шестиугольника.
Для определения площади шестиугольника S6 воспользуемся универсальной формулой для правильного n-угольника:
Где буквой a обозначена длина стороны шестиугольника.
Площадь треугольника S3 боковой стороны найти можно, если знать величину его высоты hb:
Поскольку все шесть треугольников равны между собой, то получаем рабочее выражение для определения площади шестиугольной пирамиды с правильным основанием:
S = S6 + 6*S3 = 3*√3/2*a2 + 6*1/2*hb*a = 3*a*(√3/2*a + hb).
Объем пирамиды
Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:
Здесь символом So названа площадь шестиугольного основания, то есть So = S6.
Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S6, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:
Пример геометрической задачи
В шестиугольной пирамиде правильной боковое ребро в два раза больше длины стороны основания. Зная, что последнее равно 7 см, необходимо вычислить площадь поверхности и объем данной фигуры.
Как можно догадаться, решение этой задачи предполагает использование полученных выше выражений для S и V. Тем не менее сразу ими воспользоваться не получится, поскольку мы не знаем апофему и высоту правильной пирамиды шестиугольной. Займемся их вычислением.
hb = √(b2-a2/4) = √(142-72/4) = 13,555 см.
Высоту h пирамиды определить можно точно так же, как апофему, только рассматривать теперь следует треугольник со сторонами h, b и a, находящийся внутри пирамиды. Высота будет равна:
Видно, что рассчитанное значение высоты меньше такового для апофемы, что справедливо для любой пирамиды.
Теперь можно воспользоваться выражениями для объема и площади:
S = 3*a*(√3/2*a + hb) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см2;
V = √3/2*a2*h = √3/2*72*12,124 = 514,48 см3.
Таким образом, для однозначного определения любой характеристики правильной шестиугольной пирамиды необходимо знать два любых ее линейных параметра.
Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)
В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.
Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.
Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.
Объем пирамиды — коротко о главном
Определение пирамиды:
Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойства правильной пирамиды:
Объем пирамиды:
Что такое пирамида
Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.
Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида.
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
Высота пирамиды
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.
Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида
Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Много сложный слов?
Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.
А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.
Шестиугольная правильная пирамида
В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.
Четырехугольная правильная пирамида
В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная правильная пирамида
В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды
В правильной пирамиде:
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды
Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?
Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).
\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).
Вспомним, как искать эту площадь.
Используем формулу площади:
\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)
У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)
Теперь найдем \( \displaystyle H\).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)
Чему же равно \( \displaystyle OC\)?
Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)
Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).
\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.
\( \displaystyle C<
Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).
Здесь \( \displaystyle <__
Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)
Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:
Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):
А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_
Объем правильной шестиугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).
Как найти \( \displaystyle <_
Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)
Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
В этом видео мы разобрали следующие вопросы:
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
А теперь попробуй ты!
Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!
Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»
А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?
Напиши нам ниже в комментариях!
А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.
Презентация по теме: «Шестиугольная пирамида» (11 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Правильная шестиугольная пирамида Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.
Свойства пирамиды Если все боковые рёбра равны, то: Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; Боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; Также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; Высоты боковых граней равны; Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Обозначения SABCDEF — правильная шестиугольная пирамида O — центр основания пирамиды a — длина стороны основания пирамиды h — длина бокового ребра пирамиды Sосн. — площадь основания пирамиды Vпирамиды — объем пирамиды
Площадь основания пирамиды В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной a. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна Sосн.=
Объём пирамиды Объем пирамиды вычисляется как треть произведения площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной пирамиды является отрезок SO. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем V пирамиды= Sосн.⋅SO
Высота пирамиды Прямая SO является высотой пирамиды, поэтому ∠SOF=90∘. Треугольник SOF прямоугольный, в нем FO=a, FS=h. По свойствам прямоугольного треугольника SO =
Правильный шестиугольник в основании пирамиды По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что AO=OD=EO=OB=CO=OF=a Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём AO=OE=a, ∠EOA=120∘. По свойствам равнобедренного треугольника AE= a ⋅ a Аналогичным образом приходим к заключению, что AC=CE a FM=MO= a ⋅ ⋅ ⋅
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1548918
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах
Время чтения: 2 минуты
В российских школах могут появиться «службы примирения»
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.