Как перевести бесконечную десятичную дробь

Как перевести периодическую дробь

Определение дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.

Что будет происходить в процессе:

Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Определение периодической дроби

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр.

Периодическая часть дроби — это набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть.

В краткой записи периодической дроби повторяющиеся цифры пишут в скобках и называют периодом дроби. Например, вместо 1,555… записывают 1,(5) и читают «одна целая и пять в периоде».

Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Виды периодических дробей: чистые и смешанные.

Чистая периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой сразу после запятой следует период. Например: 1,(4); 4,(25); 21,(693).

Смешанная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в записи которой после запятой через одну или несколько цифр начинается период. Например: 3,5(1); 0,02(89); 7,0(123) и т.д.

Рассмотрим примеры дробей, чтобы научиться определять части и период.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Читаем так: ноль целых три в периоде.

7/12 = 0,583333. = 0,58(3)

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Читаем так: ноль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.

17/11 = 1,545454. = 1,(54)

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Читаем так: одна целая пятьдесят четыре сотых в периоде.

25/39 = 0,641025 641025. = 0,(641025)

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6.

Читаем так: ноль целых шестьсот сорок одна двадцать пять миллионных в периоде.

пятьдесят четыре сотых в периоде.

9200/3 = 3066,666. = 3066,(6)

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Читаем так: три тысячи шестьдесят шесть целых и шесть в периоде.

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Давайте разберемся, как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь.

Если период дроби равен нулю, значит решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример. Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в обыкновенную.

Для этого отбросим нули справа и получим конечную десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих пунктов:

Рассмотрим пример, в котором период дроби отличен от нуля.

Как записать периодическую дробь 10,0219(37) в виде обыкновенной:

В нашем примере k = 2.

Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначим полученное число — a.

Теперь осталось подставить все найденные значения в формулу и получить ответ:

Вот так мы справились с задачей представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.

Есть еще один способ преобразовать периодическую дробь в обыкновенную. Для этого нужно рассматреть периодическую часть как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Например, вот так:

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии есть формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную

Напомним: отличие чистой периодической десятичной дроби в том, что в ней сразу после запятой следует период.

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Вот так:

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную

Отличие смешанной периодической десятичной дроби в том, что после запятой через одну или несколько цифр начинается период.

Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно из числа, которое стоит до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, и записать результат в числителе.

А в знаменатель нужно поставить число, которое содержит столько девяток, сколько цифр в периоде, нулей в конце и сколько цифр между запятой и периодом.

Например, запишем 2,34(2) в виде обыкновенной дроби:

Источник

Бесконечные дроби и иррациональные числа

теория по математике 📈 числа и вычисления

При переводе обыкновенной дроби в десятичную можно получить конечную периодическую или бесконечную десятичные дроби (кроме простой десятичной, разумеется).

Конечная десятичная дробь

Конечная десятичная дробь – десятичная дробь с конечным числом знаков после запятой, то есть когда у аналога обыкновенной дроби числитель без остатка делится на знаменатель.

Пример №1. ¾ — делим 3 на 4 и получаем 0,75.

Пример №2. 31 /₅₀ делим 31 на 50 и получаем 0,62.

Пример №3. 3 /₂₅ делим 3 на 25 и получаем 0,12.

Периодическая десятичная дробь

Периодическая десятичная дробь – дробь, у которой после запятой (в дробной части) присутствует бесконечный повтор одной цифры или сочетания нескольких одинаковых цифр.

Пример №4. 7 /₁₂ При делении 7 на 12 получается 0,5833333…, где постоянно повторяется цифра 3, запись делают следующим образом: 0,58(3); читается эта дробь следующим образом: нуль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.

Пример №5. 1 /₁₁ При делении 1 на 11 получается 0,090909… и так до бесконечности повторяются цифры 0 и 9. Данную дробь записывают в виде 0,(09) и читают как нуль целых и нуль десять в периоде. Иррациональные числа

Иррациональные числа — числа, которые не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби.

Значение какого из выражений является рациональным числом?

В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.

Разберем каждый вариант ответа в решении:

√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…

При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.

При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:

Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.

При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:

Данный вариант ответа нам подходит.

Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Какое из данных чисел является рациональным?

Для решения этой задачи нужно действовать следующим образом:

Сначала разберемся, степень какого числа рассмотрена в данном примере — это число 9, так как его квадрат 81, и это уже чем-то похоже на выражения в ответах. Далее рассмотрим формы числа 9 — это могут быть:

Рассмотри каждое из них:

Следовательно, число √0,81 является рациональным, остальные же числа

хотя и похожи на форму 9 в квадрате, не являются рациональными.

Таким образом, правильный ответ третий.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Значение какого из данных ниже выражений является наибольшим?

Для решения данного задания нужно привести все выражения к общему виду — представить выражения в виде подкоренных выражений:

Переносим 3 под корень:

Переносим 2 под корень:

2√11 = √(2² • 11) = √(4 • 11) =√44

Переносим 2 под корень:

2√10 = √(2² • 10) = √(4 • 10) =√40

Возводим 6,5 в квадрат:

Посмотрим на все получившиеся варианты:

Следовательно, правильный ответ первый.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для решения этого задания достаточно представлять себе значения чисел меньше и больше заданного, корни которых подлежат вычислению.

Значит, нам подходит третий вариант ответа — √38.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Бесконечные периодические десятичные дроби

В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют бесконечные периодические десятичные дроби, какие бывают виды, и как их можно перевести в обыкновенную дробь. Также разберем примеры для закрепления материала.

Периодические десятичные дроби

Определение

Если в дробной части бесконечной десятичной дроби есть один или несколько цифр, которые повторяются в одной и той же последовательности, такая дробь является периодической.

Примеры периодических десятичных дробей:

Запись

Повторяющаяся цифра/цифры – это период дроби, который пишется в скобке для сокращения длины записи. Например, дроби выше сокращенно следует писать так:

Произношение

Чистые периодические дроби – это такие бесконечные десятичные дроби, период которых начинается сразу после запятой.

Смешанные периодические дроби – бесконечные десятичные дроби, у которых между запятой и периодом присутствует одна и более цифр (их количество ограничено).

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Для того, чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную (простую), выполняем следующие шаги:

Пример 1

Давайте переведем число 0,8(3) в обыкновенную дробь.

Действовать будет пошагово согласно инструкции выше:
1. n = 1
2. m = 1
3. a = 83
4. b = 8
5. x = 0
6. Остается только применить формулу:

Пример 2

Представим периодическую дробь 2,64(378) в виде обыкновенной.

1. n = 3
2. m = 2
3. a = 64378
4. b = 64
5. x = 2
6. Подставляем эти значения в формулу нахождения простой дроби и получаем:

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Перевод конечной и бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

С помощью данного калькулятора онлайн вы можете преобразовать десятичную периодической дробь в обыкновенную или смешанную числовую дробь.

Калькулятор онлайн для перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В поле ввода можно вводить не только конечные десятичные дроби, но и бесконечные периодические десятичные дроби.

Перевести в обыкновенную дробь

Немного теории.

Обыкновенные дроби. Деление с остатком

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком, и решение записывают в таком виде:
497 : 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое, 4 — делитель. Результат деления при делении с остатком называют неполным частным. В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток. В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело. Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64 : 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление. Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \( \frac \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
\( m:n = \frac \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \( \frac \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \( \frac \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac = \frac \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac = \frac \)
Это свойство называют основным свойством дроби.

Два последних преобразования называют сокращением дроби.

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \( \frac<3> <4>\) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \( \frac<5> <5>\) или \( \frac<8> <5>\)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями. Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями.

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными.

Например:
\( 5:3 = 1\frac<2> <3>\) : 1 — целая часть, а \( \frac<2> <3>\) — дробная часть.

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \( \frac<2> <7>\) и \( \frac<3> <7>\). Легко понять, что \( \frac<2> <7>+ \frac<2> <7>= \frac<5> <7>\)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\( \large \frac + \frac = \frac \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\( \large \frac<2><3>+\frac<4> <5>= \frac<2\cdot 5><3\cdot 5>+\frac<4\cdot 3> <5\cdot 3>= \frac<10><15>+\frac<12> <15>= \frac<10+12> <15>= \frac<22> <15>\)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \( 2\frac<2> <3>\), называют смешанными дробями. При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \( \frac<2> <3>\) — ее дробной частью. Запись \( 2\frac<2> <3>\) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \( \frac<8> <3>\) и \( 2\frac<2> <3>\). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \( \frac<8> <3>= 2 \frac<2> <3>\)

Таким образом, неправильная дробь \( \frac<8> <3>\) представлена в виде смешанной дроби \( 2\frac<2> <3>\). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть.

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\( \frac<8><9>-\frac<1> <9>= \frac<7> <9>\) так как \( \frac<7><9>+\frac<1> <9>= \frac<8> <9>\)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\( \large \frac-\frac = \frac \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\( \large \frac \cdot \frac = \frac \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \( \frac<2> <3>\) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \( \frac<3> <2>\). Эту дробь называют обратной дроби \( \frac<2> <3>\).

Если мы теперь «перевернем» дробь \( \frac<3> <2>\), то получим исходную дробь \( \frac<2> <3>\). Поэтому такие дроби, как \( \frac<2> <3>\) и \( \frac<3> <2>\) называют взаимно обратными.

Взаимно обратными являются, например, дроби \( \frac<6> <5>\) и \( \frac<5> <6>\), \( \frac<7> <18>\) и \( \frac<18> <7>\).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \( \frac \) и \( \frac \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1. Например: \( \frac<2> <3>\cdot \frac<3> <2>=1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\( \large \frac : \frac = \frac \cdot \frac \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Источник