Как оцениваются границы погрешностей суммы

Оценка погрешности по способу границ

Источники погрешности при решении задач на Э В М

Анализ погрешностей является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи.

На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи – от построения математической модели до производства вычислений.

Пусть R – точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность ε1 = R – R1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так называемая неустранимая погрешность).

Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность ε2 = R2 – R1 называют погрешностью метода.

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше погрешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство, а также неизбежность округлений (в случае использования ЭВМ принудительное округление диктуется конечностью разрядной сетки машины) приводят к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности ε3 = R3 – R2.

Полная погрешность ε, очевидно, получается как сумма всех погрешностей:

При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут отсутствовать или незначительно влиять на окончательный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели. Располагая несовершенной математической моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла проводить утонченный анализ вычислительных ошибок. Отсюда следует, что оценка неустранимой погрешности может послужить веским доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудоемкими.

Основные понятия теории погрешностей

которую называют абсолютной погрешностьювеличины x. Кроме абсолютной погрешности часто используется относительная погрешность, которая определяется как отношение

= ,

Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Приведённые выражения для e_a и d_a практически не могут быть использованы, так как истинное значение величины x неизвестно. Поэтому для оценки точности приближённых чисел находят предельную абсолютную погрешность Da, являющуюся верхней Da ³ оценкой | |. Это значение определяется неоднозначно. Обычно стремятся указать число, наименьшее из возможных.

Если в приведённом выше выражении для относительной погрешности заменить абсолютную погрешность на предельную, то получим соотношение, определяющее предельную относительную погрешность.

=

Говоря в дальнейшем о погрешности приближённых величин, будем иметь в виду их предельные погрешности, т.е. =

Если известны a и e_a, то принято записывать: x = a ± e_a. Это означает, что точное неизвестное значение х принадлежит промежутку от a – e_a до a + e_a.

Приближения к точному значению по недостатку и по избытку позволяет установить нижнюю и верхнюю границы.

Любая пара чисел НГ и ВГ такая, что называется соответственно нижнейи верхней границамиприближённой величины .

Округление

В десятичной записи числа выделяют значащие цифры – это первая слева ненулевая цифра и любые цифры справа от значащей.

Пример.

Округлением числа называется замена его близким по величине, но с меньшим количеством значащих цифр.

Различают округление симметричное (к ближайшему), к большему (с избытком) и к меньшему (с недостатком).

ВГ можно округлить только с избытком, а НГ – с недостатком. Предельная погрешность является верхней границей погрешности и округляется с избытком.

Округление отбрасыванием цифр называется отсечением и широко применяется в ЭВМ ввиду простоты и быстроты выполнения.

Для приближённого числа, полученного в результате округления отсечением, абсолютная погрешность равна единице последнего разряда числа.

Пример. Округление отсечением числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,27 даёт абсолютную погрешность .

Симметричное округление приводит к меньшей величине ошибки округления. Его погрешность не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда.

Пример. Симметричное округление числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,28 даёт абсолютную погрешность .

Введём понятия «верной цифры» и «верной цифры в строгом смысле», соответствующие двум рассмотренным способам округления.

Цифра, соответствующая р-му разряду в записи числа а, называется верной, если погрешность , а если погрешность , то цифра верна в строгом смысле. Цифра слева от верной также верна.

Имеем , но . Значит в числе х верные цифры 1, 8, 5, а 7 и 2 – сомнительные. Верными в строгом смысле являются только цифры 1, 8, так как. .

Оценка погрешности по способу границ

Источник

Приложение А. Погрешности вычислений

Абсолютная и относительная погрешности

Точность полученного в результате вычисления результата определяется погрешностью вычислений. Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения:

(А.1)

где а – приближенное значение числа х.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

(А.2)

Истинное значение величины х обычно неизвестно. Имеется лишь приближенное значение а и нужно найти его предельную погрешность . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. Тогда истинное значение х находится в интервале .

Источники погрешностей

Рассмотрим различные причины возникновения погрешностей.

Математическая модель задачи является неточной

Погрешность возникает из-за того, что сам численный метод или математическая модель является лишь приближением к точному методу (например, дифференцирование). Кроме того, любая математическая модель или метод могут внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-то особенности рассматриваемой задачи. Модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других. Такую погрешность называют также методической. Она всегда имеет место, даже при абсолютно точных данных и абсолютно точных вычислениях. В большинстве случаев погрешность численного метода можно уменьшить до требуемого значения за счет изменения параметров метода (например, уменьшением шага дискретизации, или увеличением количества итераций).

Ошибки в исходных данных

Исходные данные задачи часто являются основным источником погрешностей. Ошибки такого типа неизбежны и проявляются в любых реальных задачах, поскольку любое измерение может быть проведено с только какой-то предельной точностью. Вместе с погрешностями, вносимыми математической моделью, их называют неустранимыми погрешностями, поскольку они не могут быть уменьшены ни до начала решения задачи, ни в процессе ее решения.

Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности. Сильное уточнение одних исходных данных при наличии больших погрешностей в других не приводит к повышению точности конечных результатов. Если какие-то отдельные точки данных (измерения) явно ошибочные, их можно исключить из вычислений.

Вычислительные ошибки (ошибки округления)

Ошибки этого типа проявляются из-за дискретной (а не непрерывной) формы представления величин в компьютере. Вычислительные ошибки можно свести к минимуму продуманно организовывая алгоритмы.

Вычислительные ошибки

Рассмотрим подробнее вычислительные ошибки. Допустим, исходные данные не имеют погрешности, но поскольку место в памяти компьютера, отведенное на хранение чисел, ограничено, и соответственно ограничена точность представления чисел, возникновение вычислительных ошибок неизбежно.

Представление чисел с плавающей точкой

Для хранения целых чисел (int, long, unsigned int и т.д.) обычно отводится 4 байта памяти, что позволяет представлять целые числа, находящиеся примерно в диапазоне от .

В вычислениях чаще используются вещественные числа (float, double). Такие числа представляются в компьютере в форме с плавающей точкой, и хранятся в логарифмическом виде – мантисса и порядок:

(А.3)

где m – мантисса, p – порядок, а – основание степени.

Например, число 273.9 можно представить в виде или в компьютерном представлении 2.739E+02.

В таблице А.1 приводится диапазон допустимых значений и другие параметры для чисел с плавающей точкой одинарной (float) и двойной (double) точности.

Таблица A.1. Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой

Для чисел с плавающей точкой существует понятие машинного эпсилон – наименьшего положительного число ε такого, что . Например, для числа с одинарной точностью 1 + 0.00000001 = 1. Для одинарной точности , а для двойной точности .

Погрешность округления

При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью хранимых разрядов мантиссы. Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, значение могло быть получено округлением чисел 0.73441, 0.73353 и др. При этом . При простом отбрасывании лишних разрядов эта погрешность увеличивается вдвое.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую также может быть источником погрешности из-за того, что основание одной системы счисления не является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к тому, что в новой системе счисления число невозможно представить абсолютно точно, например:

Погрешность арифметических действий над приближенными числами

При выполнении операций над приближенными числами можно оценить предельную погрешность результата в зависимости от выполняемой операции. При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются:

, (А.4)

При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени:

(А.5)

При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются:

(А.6)

Относительная погрешность суммы положительных слагаемых вычисляется как:

. (А.7)

Отсюда следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака, заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

. (А.8)

На практике для оценки погрешности при сложении чисел обычно используют максимальную погрешность .

При сложении погрешность будет сильно завесить от абсолютных величин складываемых чисел. Рассмотрим пример сложения двух чисел с одинаковым количеством значащих цифр, но разных по абсолютному значению:

1234 + 0.005678 = 1234.00005678

или в компьютерном представлении:

1.234Е+03 + 5.678Е-03 = 1.234005678Е+03

После сложения количество значащих цифр равно 10. Число с одинарной точностью (float) позволяет хранить только 8 значащих цифр, то есть на самом деле число будет равно 1.2340056Е+03. Две значащие цифры потерялись в процессе сложения. Потеря точности здесь возникает из-за того, что при прибавлении к большому числу малых чисел результат сложения выходит за пределы точности при округлении. Для того чтобы уменьшить погрешность вычислений, нужно складывать числа в порядке возрастания их абсолютной величины. Таким образом можно минимизировать абсолютную величину промежуточной погрешности при каждом сложении.

Рассмотрим теперь вычитание чисел (сложение чисел разного знака, или вычитание чисел одного знака). В соответствии с выражением (А.7) относительная погрешность может быть очень большой в случае, если числа близки между собой, так как даже при малых погрешностях результат их сложения в знаменателе может быть очень малым. Чтобы уменьшить погрешность при вычитании, необходимо строить вычислительные алгоритмы таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Таким образом, можно сделать вывод, что сложение и вычисление являются плохо обусловленными (неустойчивыми) операторами, так как при некоторых данных даже небольшая погрешность в исходных данных может привести к большой погрешности результата. Уменьшить погрешность можно за счет правильной последовательности операций. Из-за погрешности округления в машинной арифметике важен порядок выполнения операций, и известные из алгебры законы коммутативности (и дистрибутивности) здесь не всегда выполняются.

Источник

Погрешность суммы и разности величин

Виды измерений

Значение искомой величины непосредственно измеряют

Измерение длины отрезка линейкой

Значение искомой величины вычисляют на основании прямых измерений других величин, входящих в формулы для вычислений

Вычисление площади прямоугольника по измеренным длине и ширине

Значение искомой величины вычисляют на основании известных значений одноименных величин, решая линейные уравнения

Взвешивание тела с помощью гирь

Измерения двух или нескольких неодноименных величин проводятся одновременно для нахождения зависимости между ними

Измерение зависимости напряжения от силы тока (закон Ома)

Если в формулы для расчётов входят несколько измеряемых величин, каждая со своими погрешностями, возникает вопрос, а как оценить погрешность результата?

Погрешность суммы величин

Пусть в результате измерений получено:

Найдём границы для суммы этих величин: z = x+y

При сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Погрешность разности величин

Пусть в результате измерений получено:

Найдём границы для разности этих величин: z = x-y

При вычитании приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Как при сложении, так и при вычитании приближённых величин, их абсолютные погрешности складываются.

Поэтому относительная погрешность разности может оказаться значительно большей, чем погрешности уменьшаемого и вычитаемого. Разности в расчётных формулах ведут к уменьшению точности эксперимента.

Примеры

Пример 1. Найдите сумму и разность чисел x и y, а также относительные погрешности исходных величин и результатов:

$а) x = 8,7 \pm 0,2; y = 5,3 \pm 0,1$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac<0,2> <8,7>\cdot 100 \text <%>\approx 2,3 \text<%>, δ_y = \frac<0,1> <5,3>\cdot 100 \text <%>\approx 1,9 \text <%>$$

$$ δ_ = \frac<0,3> <14,0>\cdot 100 \text <%>\approx 2,2 \text<%>, δ_ = \frac<0,3> <3,4>\cdot 100 \text <%>\approx 8,9 \text <%>$$

$б) x = 1,47 \pm 0,005; y = 1,338 \pm 0,0005$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac<0,005> <1,47>\cdot 100 \text <%>\approx 0,35 \text<%>, δ_y = \frac<0,0005> <1,338>\cdot 100 \text <%>\approx 0,04 \text <%>$$

$$ δ_ = \frac<0,006> <2,808>\cdot 100 \text <%>\approx 0,22 \text<%>, δ_ = \frac<0,006> <0,132>\cdot 100 \text <%>\approx 4,6 \text <%>$$

Чему равна относительная погрешность периметра?

$$ δ_P = \frac<0,1> <16,6>\cdot 100 \text <%>\approx ↑0,61 \text <%>$$

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

Источник