Как оценивать неравенства 9 класс
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Сравнение чисел
Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ « », означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).
Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.
Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.
Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.
Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):
b располагается правее а, а потому
Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что
Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить
Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.
Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40
Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.
Свойства неравенств
Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.
Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:
умножив части равенства на (– 1), получим:
Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb
Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:
Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.
Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:
Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:
Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):
(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)
Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a 25
В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство
Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.
Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:
Решение. Запишем очевидно верное неравенство
Добавим к нему число 11:
Число 11 больше 5, поэтому можно записать:
Пример. Докажите, что неравенство
n 2 – 8n + 19> 0
справедливо для любого n.
В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:
n 2 – 8n + 19 = n 2 – 2•4n + 19 = n 2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =
= (n 2 – 2•4n + 4 2 ) – 16 + 19 = (n– 4) 2 + 3
Величина (n – 4) 2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4) 2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.
Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.
Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие
Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:
2ut – (u 2 + t 2 ) = 2ut – u 2 – t 2 = – (u 2 – 2ut + t 2 ) = – (u – t) 2
Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:
Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.
Пример. Докажите, что
d 2 + s 2 + m 2 ⩾ds + dm + sm
Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:
Сложим полученные неравенства:
(d 2 + s 2 ) + (s 2 + m 2 ) + (d 2 + m 2 ) ⩾2ds + 2sm + 2dm
2d 2 + 2s 2 + 2m 2 ⩾2ds + 2sm + 2dm
Осталось поделить на два это неравенство:
d 2 + s 2 + 2m 2 ⩾ds + sm + dm
Решение неравенств с одной переменной
Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во
справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.
Так, 3 – это одно из решений для нер-ва
ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во
Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва
является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.
Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:
Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».
Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:
Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство
Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:
Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)
Введем понятие равносильных неравенств:
Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:
Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.
Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной
х + 10 > 18
Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:
Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):
Пример. Решите нер-во
5у ⩾ 20
Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:
Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)
Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись
–6z > 42
Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:
Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:
Теперь поделим на 12 правую и левую часть:
Для нер-ваk> 10 решением является промежуток
Пример. Решите нер-во
9(h + 2) + 21 10 (штриховка сверху) и х 0
Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:
Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому
х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0
Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:
Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:
Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:
В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140
Получили число, большее нуля: 140 > 0
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16
Получили отрицательное число.
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8
Получили положительное число
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36
Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:
Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.
В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:
Пример. Определите, при каких значениях переменной полином
х 2 – 8х + 12
принимает отрицательные значения.
Решение. По сути, нам надо решить нер-во
х 2 – 8х + 12 2 – 8х + 12 = 0
D = (– 8) 2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16
Зная х1 и х2, можем записать, что
х 2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)
Перепишем исходное нер-во:
К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):
х – 2 = 0 или х – 6 = 0
Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:
На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5
Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3
На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5
В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).
Как оценивать неравенства 9 класс
Свойство 1.
Если а>b и b > с, то а > с.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т, е. числовую прямую. Неравенство а > b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с.
Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности (образно говоря, от пункта а мы добираемся до пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).
Свойство 2.
Если а > b, то а + с > b + с.
Свойство 3.
— а Ь, то — а b и с > d, то а + с > b + d.
Доказательство.
а + с > b + d.
II способ. Так как а> b, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
Итак, a + c > b + c, b + c > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.
Свойство 5.
Если а, b, с, d — положительные числа и a > b, с > d, то ас > bd.
Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bс. Аналогично, так как с > d и b > 0, то cb > db.
Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.
Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.
Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств.
Пример 1.
Пусть а и b — положительные числа и а > b Доказать, что
Решение. Рассмотрим разность Имеем
Пример 2.
Пусть а — положительное число. Доказать, что
Решение. Рассмотрим разность Имеем
Получили неотрицательное число, значит,
Заметим, что если a = 1; если же а ≠ 1, то
Числовые неравенства и их свойства
С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.
Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.
Числовые неравенства: определение, примеры
Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.
Свойства числовых неравенств
Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.
Основные свойства
Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков и > характерно при свойствах:
Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.
Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.
Доказательство производится аналогичным образом.
Другие важные свойства числовых неравенств
Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.
Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.
Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:
Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.
Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.
Свойства числовых неравенств
Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств.
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
