Как оценить достоверность коэффициента корреляции

Как оценить достоверность коэффициента корреляции

Функциональная связь — такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для физико-математических процессов.

Корреляционная связь — такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов.

Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др.

при наличии вычислительной техники расчет производится по формуле:

Способ 1
Достоверность определяется по формуле:

Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n — 2), где n — число парных вариант. Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%.

Способ 2
Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n — 2), он равен или более табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥95%.

на применение метода квадратов

Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение.
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р > 99,9%).

на применение рангового метода

Задание: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака «стаж работы в годах» имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод — метод квадратов.

Решение. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

где n — число сопоставляемых пар вариант в ряду «x» и в ряду «у»

1-й способ. Определить ошибку (mр_ху) коэффициента ранговой корреляции и оценить достоверность его с помощью критерия t:

Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)

Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения. Под ред. чл.-корр. РАМН, проф. В.З.Кучеренко. М., «Гэотар-Медиа», 2007, учебное пособие для вузов

Источник

Вычисление коэффициента корреляции рангов и оценка его достоверности.

На основе приведенных в таблице 1 данных требуется:

1) вычислить коэффициент корреляции рангов;

2) определить характер и силу связи между соответствующими признаками;

3) определить достоверность коэффициента корреляции.

Возраст матери и количество сцеженного и высосанного грудного молока

Результаты исследования возраста матери и количество сцеженного и высосанного грудного молока

Решение:

1. Рангами (порядковыми номерами обозначаем места показателей в рядах «x»и «y»,затем находим разность междурангами(d)и возводим ее вквадрат(d 2 ). При обозначении места показателей рангами начинают с большего или с меньшего показателя в обоих рядах (табл.2).

Вычисление коэффициента корреляции методом рангов

Ранги по возрасту и и количеству молока

Разность рангов

Квадрат разности рангов

(d 2 )

49 36 49 16 1 6,25 4 25 42,25 81Ʃd 2 =309,5

Подставляем полученные данные в формулу коэффициента корреляции рангов:

2. Коэффициент корреляции, равный (-0,9) свидетельствует о наличии обратной сильной связи между возрастом матери и количеством сцеженного и высосанного грудного молока.

3. Определяем достоверность коэффициента корреляции:

а) вычисляем его ошибку:

m_p= = +0,1

б) определяем его доверительный коэффициент (t) и степень вероятности безошибочного прогноза (p):

t = = 4,5;При t = 4,5, p˃99%

Задача 7

Вычисление коэффициента корреляции рангов и оценка его достоверности.

На основе приведенных данных в таблице 1 требуется:

1) вычислить коэффициент корреляции рангов;

2) определить характер и силу связи между соответствующими признаками;

3) определить достоверность коэффициента корреляции.

Задание 7

Длина и масса тела у 12 девочек в возрасте 5 лет (табл. 1):

Решение.

1. Рангами (порядковыми номерами) обозначаем места показателей в рядах «x» и «y»(табл. 2), затем находим разность между рангами (d) и возводим ее в квадрат (d 2 ). При обозначении места показателей рангами начинают с меньшего (или с большего).

Если отдельные показатели ряда встречаются несколько раз (90, 95, 110) ранги проставляются следующим образом: длина тела 90 см.встречаетсядважды занимая по величине 4-е и 5-е места, поэтому порядковые номера в этом случае будут равны 5, т.е. против каждого показателя 90 см.. будет проставлен ранг 4,5 и т.д.

Результаты длины и массы тела у 12 девочек в возрасте 5 лет

Длина тела

Масса тела

Ранги по длине и массе тела

Разность ранговКвадрат разности ранговXYd = (х-у)d 2871312-1195147,54+3,512,25115201211+11891231+2490144,54+0,50,2590154,56,5-2410117990095157,56,5+111101810,510+0,50,251102110,512-1,52,25881424-24931668-24Σ d 2 = 34

Подставляем полученные данные в формулу коэффициента корреляции рангов:

2. Коэффициент корреляции, равный + 0,9, свидетельствует о наличии прямой сильной связи между ростом девочек и массой их тела.

3. Определяем достоверность коэффициента ранговой корреляции.

1-й способ. Определяем ошибку (m _ρху) коэффициента ранговой корреляции и оцениваем достоверность его с помощью критерия t:

= = 0,1

Полученный критерий t = 9 соответствует вероятности безошибочного прогноза ρ больше 99 %:

2-й способ.Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице «Стандартных коэффициентов корреляции». При числе степеней свободы

Вывод. С вероятностью безошибочного прогноза (р) больше 99% установлено, что чем больше рост, тем больше масса тела (связь прямая, сильная, достоверная корреляционная: ρ_ху = 0,9, ρ> 99%.

Источник

Оценка достоверности коэффициента корреляции

После расчета коэффициента корреляции, определения силы и направления связи необходимо доказать достоверность полученных результатов. Оценить уровень достоверности полученного коэффициента корреляции возможно двумя способами.

Способ 1.Рассчитать значение критерия достоверности t по формуле:

t = или t = ,

Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом степеней свободы (n – 1), где n – число пар сравниваемых признаков (см. приложение 1). Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥ 99%.

Способ 2. Достоверность результатов оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции (см. приложение 2). При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n – 2), он равен или больше табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥ 95%.

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН

Применение метода квадратов

Задание: Вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между частотой раннего прикорма детей первого года жизни и уровнем заболеваемости желудочно-кишечными инфекциями у детей первого года жизни, проживающих в пяти районах области, с использованием данных, представленных в табл. 16. Оценить достоверность связи, сделать выводы.

Обоснование выбора метода: Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (частота прикорма и уровень заболеваемости желудочно-кишечными инфекциями у детей первого года жизни, проживающих в пяти районах области) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Таблица 16. Частота раннего прикорма и уровень заболеваемости желудочно-

Кишечными инфекциями у детей первого года жизни в пяти

Районах области

1.Построить вариационные ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначив их через Х (частота раннего прикорма на 100 детей) и через Y (уровень заболеваемости желудочно-кишечными инфекциями на 100 детей).

2. Определить средние величины М_x в ряду вариант Х и М_y в ряду вариант Y по формулам:

3. Найти отклонение (d_x и d_y) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду Х и в ряду У.

4. Найти произведение отклонений d_x × d_y и суммировать их:

5. Каждое отклонение d_xи d_y возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду Х и по ряду Y:

графа 6: ∑ d_x 2 = 186

графа 7: ∑ d_y 2 = 241

6. Определить произведение ∑d_x 2 × ∑d_у 2 и из этого произведения извлечь квадратный корень: (∑d_x 2 × ∑d_y 2 ) = 186 х 250 = 46 500 = 215,64

7. Полученные величины (∑d_x ×d_y) и (∑d_x 2 × ∑d_у 2 ) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции (табл. 17):

r_xy = = = 0,997

8. Определить ошибку коэффициента корреляции:

m_rx = = = 0,038

9. Определить достоверность коэффициента корреляции:

Способ 1: Найти критерий достоверности t по формуле:

t = , t= = 26,2

Критерий t = 26,2, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9 % (результат считается достоверным при критерии t ≥ 2, при этом вероятность безошибочного прогноза р ≥ 95 %).

Способ 2. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице «Стандартные коэффициенты корреляции» (см. приложение 2). При числе степеней свободы (n – 2) = 5 – 2 = 3 наш расчетный коэффициент корреляции r_xy = + 0,997 больше табличного (r_табл. = 0,959 при р = 99%).

Таблица 17. Расчет коэффициента корреляции методом квадратов

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН

Применение рангового метода расчета коэффициента корреляции

Задание: методом корреляции рангов установить направление и силу связи между ростом и весом студентов первого курса ЧГМА и оценить достоверность полученных результатов. Данные представлены в табл. 18.

Обоснование выбора метода: в данном случае может быть использован как метод квадратов, так и метод ранговой корреляции. Поскольку значения признака (рост) достаточно велики и не требуется точного расчета коэффициента корреляции выбран метод ранговой корреляции.

Таблица 18. Антропометрические данные 10 студентов первого курса ЧГМА

1. Каждый из рядов парных признаков обозначить через x и через y (графы 1 и 2) – табл. 18.

3. Определить разность рангов d = х – у – графа 5.

5. Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по формуле:

ρ_ху = 1- ,

где, n – число сопоставляемых пар вариант в ряду Х и ряду Y:

6. Рассчитать ошибку коэффициента корреляции по формуле:

m_ρxy = ,

7. Определить достоверность полученных результатов.

Способ 1. Рассчитать критерий достоверности t для оценки достоверности полученного коэффициента корреляции.

t = , t = = 4,2

Полученный критерий t = 4,2, соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9 %.

Способ 2. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице «Стандартные коэффициенты корреляции» (см. приложение 2). При числе степеней свободы (n – 2) = 10 – 2 = 8 наш расчетный коэффициент корреляции ρ_ху = + 0,830 больше табличного (ρ_табл. = 0,765 при р = 99%).

Таблица 19. Расчет коэффициента корреляции методом рангов

Вывод: С вероятностью безошибочного прогноза (р) более 99% установлена прямая сильная корреляционная связь между ростом и весом у студентов первого курса ЧГМА.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Дайте определение функциональной и корреляционной связи.

2. Приведите примеры прямой и обратной корреляционной связи.

3. Укажите размеры коэффициентов корреляции при слабой, сред­ней и сильной связи между признаками.

4. В каких случаях применяется ранговый метод вычисления коэф­фициента корреляции?

5. В каких случаях применяется метод квадратов?

6. Каковы основные этапы вычисления коэффициента корреляции ранговым методом?

7. Каковы основные этапы вычисления коэффициента методом квадратов?

8. Как определяется достоверность коэффициента корреляции? Укажите способы.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

Определите силу и направление связи между явлениями (признаками), применив необходимый метод расчета метод (метод квадратов или метод ранговой корреляции).

Задача № 1.

Определите наличие связи, силу и направление ее между уровнем брачной плодовитости женщин и уровнем доходов семьи. Оцените достоверность результатов, сделать выводы.

Задача № 2.

При излучении клинического значения определения активности щелочной фосфатазы лейкоцитов (ФАЛ) при остром нарушении коронарного кровообращения получены следующие данные в зависимости от начала приступа. Определить характер и размер связи между активностью щелочной фосфатазы в зависимости от дня начала приступа путём вычисления коэффициента корреляции и оценки его достоверности.

Задача № 3.

Определить характер и силу связи между уровнем молочной кислоты в крови (мг %) и длительностью охлаждения организма (2 часа ежедневно) путём вычисления коэффициента ранговой корреляции и оценки его достоверности.

Задача № 4.

При излучении холеры получили следующие данные о летальности в зависимости от возраста. Определить характер и размер связи между возрастом и летальностью при холере путём вычисления коэффициента ранговой корреляции и оценки его достоверности.

Задача № 5.

При излучении зависимости скрытых периодов реакции (ответов) нейронов мозжечка в м/сек при раздражении зрительного тракта от глубины отведения в мм (опыт на кошках) получены следующие данные. Определить характер и силу между временем ответа и глубиной раздражения путём вычисления коэффициента ранговой корреляции и оценки его до верности.

Задача № 6.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между числом детей в семье и количество пропущенных женщиной рабочих дней по уходу за больным ребёнком. Оцените достоверность полученных результатов.

Задача № 7.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между уровнем мертворождаемости и веса ребёнка при рождении. Оценить достоверность полученных данных, сделать выводы.

Задача № 8.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между уровнем мертворождаемости и веса ребёнка при рождении. Оценить достоверность полученных данных, сделать выводы.

Задача № 9.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между удельным весом родов на дому, в сельской местности в зависимости от расстояния до ближайшего лечебно-профилактического учреждения, имеющего родильные койки.

Задача № 10.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между толщиной угольного пласта и уровнем заболеваемости шахтёров гипертонической болезнью. Оцените достоверность полученных результатов, сделайте соответствующие выводы.

Задача № 11.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между значением среднемесячной температуры воздуха в течение года и уровнем заболеваемости инфекциями верхних дыхательных путей по месяцам на 10 000 жителей. Оцените достоверность полученных данных, сделайте выводы.

Задача № 12.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между стажем работы и частотой понижения слуха. Оцените достоверность полученных результатов, сделайте выводы.

Задача № 13.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между стоимостью содержания койки в год и мощности больницы (средняя стоимость принята за 100). Оцените достоверность полученных результатов, сделайте выводы.

Задача № 14.

Определите наличие корреляционной зависимости, силу и направление связи между стажем работы и частотой понижения слуха у котельщиков. Оцените достоверность полученных результатов, сделайте выводы.

Задача № 15.

Путём вычисления коэффициента ранговой корреляции определить характер и силу связи между возрастом и количеством госпитализированных больных с сердечной недостаточностью, оценить достоверность коэффициента корреляции, сделать выводы.

Приложение 3

ТЕМА: МЕТОД СТАНДАРТИЗАЦИИ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ: изучение прямого метода расчета стандартизованных показателей, этапы, назначение стандартизованных показателей.

ЦЕЛЬ:на основе применения метода стандартизации уметь выявлять влияние факторного признака на результативный при изучении общественного здоровья и анализа деятельности медицинских учреждений.

По окончании изучения темы студент должен

Уметь:

— вычислять стандартизованные показатели;

— сопоставлять интенсивные и стандартизованные показатели и делать

— применять метод стандартизации при решении конкретных задач,

связанных с изучением общественного здоровья и деятельности

Знать:

— условия применения метода стандартизации;

— сущность и назначение метода;

— этапы расчета стандартизованных показателей.

БЛОК ИНФОРМАЦИИ

При изучении общественного здоровья и здравоохранения зачастую необходимо доказать влияние факторных признаков на результативные при сравнении двух или более совокупностей для чего применяется ряд статистических приемов. При этом анализируя показатели общественного здоровья в различных группах населения, отмечено, что уровень рождаемости будет выше там, где среди населения более высока доля женщин детородного возраста, больничная летальность будет выше в стационаре или отделении, где больше больных с тяжелыми формами заболеваний. Такая же проблема возникает при сравнении показателей в динамике, так как возрастной и половой состав групп населения с течением времени меняется.

Использование метода стандартизации позволяет расчетным путем устранить влияние неоднородности сравниваемых совокупностей и применяется при сравнении интенсивных показателей в совокупностях, отличающихся друг от друга по составу (например, по полу, возрасту, составу больных по нозологическим формам)

Сущность метода стандартизациизаключается в том, что он позволяет устранить (элиминировать) возможное влияние различий в составе совокупностей по какому-либо признаку на величину сравниваемых интенсивных показателей. С этой целью составы совокупностей по данному признаку уравниваются, что в дальнейшем позволяет рассчитать стандартизованные показатели.

Стандартизованные показатели – это условные гипотетические величины, которые не отражают истинных размеров явлений. Стандартизованные показатели свидетельствуют о том, каковы бы были значения сравниваемых интенсивных показателей, если бы были исключены различия в составах совокупностей.

Назначение метода стандартизации: метод стандартизации используется для выявления влияния фактора неоднородности составов совокупностей по какому-либо признаку на различия сравниваемых интенсивных показателей.

Виды расчета стандартизованных показателей:

Выделяют три основных метода расчета стандартизованных показателей:

— прямой метод – за стандарт принимается состав среды и предполагается, что он одинаков в обеих сравниваемых совокупностях. Применяется в случае если известны состав среды (совокупности) и состав явления по изучаемому признаку, а также, если при этом число наблюдений достаточно велико в каждой выделенной для изучения группировке, т.е. вычисленные специальные коэффициенты достоверны.

— косвенный метод – за стандарт принимают специальные интенсивные коэффициенты, т.е. частоту встречаемости явления в среде. Применяют в том случае, если отсутствуют данные о составе изучаемого явления, а также при наличии малых чисел изучаемого явления.

— обратный метод – используется при отсутствии данных о составе среды.

Величина стандартизованных коэффициентов зависит от выбора стандарта, поэтому сравнение стандартизованных показателей можно проводить только, если они вычислены с применением одного и того же стандарта.

Наиболее часто в практической деятельности используется прямой метод расчетастандартизованных показателей, который осуществляется в пять этапов:

I этап:Расчет общих и специальных (частных) интенсивных показателей. Общие интенсивные показатели рассчитываются по совокупности в целом, специальные (частные) – по признаку различия (полу, возрасту, стажу работы, уровню летальности по отделению)

II этап:Выбор стандарта, который заключатся в определении одинакового численного состава среды по данному признаку (возрасту, полу и т.д.) для сравниваемых совокупностей. За стандарт может быть принята сумма или полусумма численностей составов соответствующих групп. Также в качестве стандарта может быть принят состав любой из сравниваемых совокупностей или встречающиеся в литературе данные, соответствующие по аналогичному признаку, таким образом, за стандарт может быть принято различное значение состава среды, но при этом условия среды уравниваются качественно однородным составом среды, что дает возможность провести расчеты новых чисел явления, которые называются «ожидаемыми величинами».

III этап:Вычисление ожидаемых абсолютных величин в группах стандарта на основе групповых интенсивных показателей, рассчитанных на I этапе. Итоговые числа по сравниваемым совокупностям являются суммой ожидаемых величин в группах.

IV этап:Вычисление стандартизованных показателей для сравниваемых совокупностей.

V этап:Анализ полученных данных, заключающийся в сопоставлении соотношений стандартизованных и интенсивных показателей, вывод.

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН

Используя прямой метод стандартизации, сравнить уровень заболеваемости язвенной болезнью двенадцатиперстной кишки у работников в цехе А. и Б. За стандарт принять состав работающих по полу:

Этапы расчета стандартизованных показателей.

I этап:Рассчитывают общие показатели заболеваемости язвенной болезнью в цехах А. и Б.:

Цех А.: 11 × 100 / 250 = 4,4 на 100 работающих;

Цех Б.: 7 × 100 / 200 = 3,3 на 100 работающих.

Далее рассчитывают показатели заболеваемости язвенной болезнью в зависимости от пола больных.

Так, заболеваемость язвенной болезнью у мужчин в цехе А. составляет:

1 × 100 / 50 = 2 на 100 работающих мужчин,

заболеваемость язвенной болезнью у женщин в цехе А. составляет:

10 × 100 / 200 = 5 на 100 работающих женщин.

Заболеваемость язвенной болезнью у мужчин в цехе Б. составляет:

4 × 100 / 170 = 2,3 на 100 работающих мужчин,

заболеваемость язвенной болезнью у женщин в цехе Б. составляет:

3 × 100 / 30 = 10 на 100 работающих женщин.

II этап:За стандарт принимают сумму работающих в цехе А. и цехе Б. по

III этап:Определяют ожидаемое число имеющих язвенную болезнь в стандарте по каждой группе (в распределении по полу) в цехах А. и Б. с учетом соответствующих показателей заболеваемости. Рассуждают так: если из 100 работающих мужчин в цехе А. язвенная болезнь двенадцатиперстной кишки фактически имеется у 2 (по результатам расчетов I этапа), то у скольких работающих мужчин будет выявлена язвенная болезнь в стандарте, т.е. у 220 мужчин и т.д.:

Далее находят сумму ожидаемых чисел имеющих язвенную болезнь в стандарте цехе А. (4,4 + 11,5 = 15,9) и цехе Б. (5,1 + 23,0 = 28,1).

IV этап:Рассчитывают общие стандартизованные показатели заболеваемости язвенной болезнью двенадцатиперстной кишки у работающих в цехах А. и Б.:

Цех А.: 15,9 × 100 / 450 = 3,5 на 100 работающих;

Цех Б.: 28,1 × 100 / 450 = 6,2 на 100 работающих.

Результаты поэтапного расчета стандартизованных показателей заболеваемости язвенной болезни оформляют в виде таблицы:

V этап:Сопоставление соотношения интенсивных и стандартизованных

показателей заболеваемости в цехах А.и Б.: