Как отрицательную дробь сделать положительной
Отрицательные дроби
Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.
Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:
каждое из них равно отрицательному числу
Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:
| -2 : 7 | = | -2 | и | 2 : (-7) | = | 2 | . |
| 7 | -7 |
Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Умножение и деление
Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | -2 | · | -4 | = | -2 · (-4) | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | 2 | · | 4 | = | 2 · 4 | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
| — | 2 | · | 4 | = | — | 2 · 4 | = | — | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:
| 4 | · (- | 2 | ) = | — | 4 · 2 | = | — | 8 | . |
| 5 | 3 | 5 · 3 | 15 |
То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.
Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.
| — | 2 | : (- | 4 | ) = | -2 | : | -4 | = |
| 3 | 5 | 3 | 5 |
| = | -2 · 5 | = | -10 | = | 10 | . |
| 3 · (-4) | -12 | 12 |
Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.
Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое – отрицательное.
Число нуль противоположно самому себе.
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
Модуль нуля равен нулю.
Модули противоположных чисел равны.
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Числа, вида:
Если перед ними поставить «+», получим то же самое число.
Если перед положительной дробью поставить знак «–», то получим новое число, которое называется отрицательным дробным числом или отрицательной дробью.
Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.
Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое отрицательное.
Число нуль противоположно самому себе.
Запишем символьное обозначение противоположных чисел.
– а – число, противоположное а
Чтобы получить противоположное число, нужно просто поменять его знак на противоположный.
Знак «минус» – символ противоположности.
(– a) – не значит, что a отрицательное, (– a) – значит, что необходимо взять число, противоположное a.
Если перед дробью (с любым знаком) поставить знак «+», получится то же самое число:
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
Модуль нуля равен нулю.
Свойства противоположных чисел:
Модули противоположных чисел равны.
Иногда знак «–» записывают не перед дробью, а в числителе или знаменателе дроби.
Иван-царевич проиграл Соловью-разбойнику 3/8 всего золота, что имел с собой в путешествии. Сколько золотых момент он оказался должен, если монет у него было 53? Сколько ему не хватило для полного расчёта?
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие числа представлены?
целое положительное число
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Модулем …дроби называют …ей дробь.
Варианты слов для вставки:
Для выполнения задания, обратимся к теоретическому материалу урока.
Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.
Отрицательные дроби, понятие и правила.
В этой теме разберем новое понятие “Отрицательные дроби”. Дроби, как и любые числа могут быть положительными и отрицательными.
Отрицательные дроби понятие и смысл. Примеры.
Ранее мы изучили тему обыкновенные дроби. Отрицательные дроби отличаются от обыкновенных дробей лишь знаком. Обыкновенные дроби имеют знак “+”. Например:
Все эти дроби можно записать со знаком плюс и смысл дробей не изменится.
Противоположные дроби, правила.
Дроби \(\frac<1><2>\) и \(-\frac<1><2>\) называются противоположными дробями. Дроби или числа, которые отличаются только знаком называются противоположными дробями или числами.
Вывод: если перед дробью поставить знак “+”, то дробь смысл дроби не изменится. Если поставить перед дробью знак “–”, то получим противоположную дробь данной дроби.
Не всегда знак минус пишется перед дробью, иногда минус записывают в числители или знаменателе. Рассмотрим пример:
Отрицательные дроби и нуль.
Нуль является исключением, нуль – противоположен самому себе.
Приведите пример противоположных чисел?
Ответ: \(-\frac<8><5>\) и \(\frac<8><5>\)
Назовите какому числу противоположно число нуль?
Ответ: нуль противоположен сам себе.
Какому числу противоположно положительное число?
Ответ: положительное число противоположно данному отрицательному числу.
Отрицательная дробь противоположна какой дроби?
Ответ: отрицательная дробь противоположна данной положительной дроби.
Отрицательная степень
Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».
Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.
Как возвести число в отрицательную степень
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
Примеры возведения в отрицательную степень.
Любое число в нулевой степени — единица.
Примеры возведения в нулевую степень.
Как найти 10 в минус 1 степени
В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:
Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».
Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «
| 1 |
| 10 |
» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».
Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.
Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.
По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.
Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».
Проверим правило выше для « 10 −2 ».
Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».
Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».
То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.
Как возвести в отрицательную степень дробь
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:
Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.
Перевернем дробь «
| 10 |
| 3 |
» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
= 0,027
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.
Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».
Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.
Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−
| 2 |
| 3 |
) » в « −3 » степень.
По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.
Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.
Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.
Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.
(−
| 9 |
| 11 |
) −2 = (−
| 11 |
| 9 |
) 2 =
| 11 2 |
| 9 2 |
=
| 121 |
| 81 |
= 1
| 40 |
| 81 |
Свойства отрицательной степени
Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.
В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.
Примеры решений заданий с отрицательной
степенью
Колягин 9 класс. Задание № 1
Представить в виде степени.
Колягин 9 класс. Задание № 5
Записать в виде степени с отрицательным числом.
Отрицательная степень
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
Например, a n — степень, где:
Читается такое выражение как a в степени n.
Если говорить проще, то степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Степень с отрицательным показателем
Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:
Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Действия с отрицательными степенями
Умножение отрицательных степеней
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, так же как и при умножении положительных степеней:
Деление отрицательных степеней
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя, так же как и при делении положительных степеней:
Возведение дроби в отрицательную степень
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
Возведение произведения в отрицательную степень
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно: 