Как относятся площади подобных фигур

Как относятся площади подобных фигур

Два треугольника подобны:

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

Рис. 5

3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

$$ AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.$$

$$1.\;\left.\beginBC\parallel AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(\mathrm<по>\;\mathrm<двум>\;\mathrm<углам>)\end\right|\Rightarrow\dfrac ba=\dfrac pq$$ (1)

$$2.\;\left.\beginMO\parallel AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end\right|\Rightarrow\dfrac xa=\dfrac p$$. (2)

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить.

Рис. 6

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Рис. 7

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Рис. 8

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

Рис. 10

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Рис. 11a	Рис. 11б

2-ая лемма.

Рис. 12a	Рис. 12б

Рис. 13

Рис. 14	Рис. 14а

Источник

Планиметрия. Страница 12

1.Площадь прямоугольника

Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

Доказательство.

Пусть ABCD и ABC’D’ два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD’ составит:

Разделив все части неравенства на AD, получим:

Тогда и площадь прямоугольника AD’C’B также будет заключена в пределах:

Разделив все части неравенства на S, получим:

Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

Перемножив два равенства между собой, получим:

2.Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Следовательно площадь параллелограмма равна:

Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

7.Пример 1

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов.

Пример 2

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение:

Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

Подставим эти выражения в соотношение S₂ = 2 S₁:

Следовательно, угол α = 30°.

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны.

Пример 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

Решение:

По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

Первое и второе соотношение решим относительно AD 2 и приравняем их.

АВ 2 = 3600 или АВ = 60 см.

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Пример 4

Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

Решение:

По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

R = АС * АВ 2 / 4S = 6 * 5 2 / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной.

Пример 5

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 см.

Решение:

Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

Найдем площадь треугольников S₁ = S_FBD и S_АВС.

S_ABC = AC * BE / 2 или S_ABC = k 2 FD * BO / 2

k 2 FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

Отсюда, k 2 = 2, k =

Следовательно, BO = BE / k = 8 / = 8 см.

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника.

Источник

Как относятся площади подобных фигур

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равны
т 2 и п 2 (черт. 379).

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h‘. Площадь первого треугольника будет равна AC•h /₂, а площадь второго треугольника A’C’•h’ /₂.

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S’ получим: S /_S’ = AC•h /_{A’C’•h’} или S /_S’ = AC /_A’C’ • h /_h’

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE и A’B’C’D’E’ — подобные многоугольники (черт. 381).

Известно, что /\ AВС /\ A’В’С’; /\ ACD /\ A’C’D’ и /\ ADE /\ A’D’E’ (§90).
Кроме того,

;

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

, или

где S и S’ — площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S /_S’ = ( AВ /_A’В’ ) 2

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2. Сторона первого квадрата составляет 1 /₃ (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 ( 1 /₅; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?

Источник

Как относятся площади подобных фигур

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

где P – периметр основания, а h –апофема. Поскольку все ребра уменьшились в два раза, следовательно, периметр и апофема тоже уменьшились в два раза. Следовательно, площадь боковой поверхности

Приведем другое решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды равны сумме площадей боковых граней. Если все ребра уменьшить в два раза, то каждая боковая грань исходной пирамиды будет подобна боковой грани получившейся пирамиды с коэффициентом подобия 2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь каждой грани получившейся пирамиды будет в 4 раза меньше площади соответствующей грани исходной пирамиды. Следовательно, площадь боковой поверхности получившейся пирамиды равна

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

а) Проведем — перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH₂ — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию, AD = PC, DH₂ = PH₁, следовательно, треугольники ADH₂ и СPH₁ равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.

б) Из отношения получим, что треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,

Из подобия следует, что Из отношения найдем, что Вычислим площадь трапеции ABCD:

Заметим теперь, что где h — высота трапеции. Поскольку

находим:

Ответ: б)

Здравствуйте! Простите, но по-моему в решение закралась ошибка. Отношение площадей треугольников ATD и ATB не равно отношению их сторон, т.к. такое отношение имеет место быть только если у треугольников есть общее основание (и тогда их площади относятся, как высоты, проведённые к этому основанию) или если треугольники имеют общую высоту (тогда их площади относятся, как основания, к которым проведена эта высота). Ничего подобного в ходе решения получено не было, чтобы говорить о таком отношении.

но, т.к. треугольники ADT и BCP подобны, то их высоты относятся, как стороны, то есть, как 1:2, а, следовательно, PH3=3TH3.

Имеем: S(adcp)=PH3*AD=3TH3*AD, S(adt)=0,5*TH3*AD=3. Из последнего уравнения находим, что TH3*AD=6, и, подставив его в первое, находим, что площадь ADCP=3*6=18

Здравствуйте, Екатерина! Спасибо, поправили решение. Там в конце закралась арифметическая ошибка. Что касается Вашего замечания, то у треугольников ADT и ATB, действительно, общая высота, проведенная из вершины А, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований DT и TB.

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

В условии указано 3:6, почему в решении 3:9?

Вся высота имеет длину 3 + 6 = 9. Поэтому отношение высоты маленького конуса к высоте большого равно 3 : 9. Поскольку фигуры подобны, то отношение радиусов будет таким же.

Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 1.

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдем отношение объемов шаров:

откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где точка пересечения отрезков AD и CK.

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Ответ:

Источник

• ← Как относятся параметры подобных фигур
• Как относятся понятия человек и общество →

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 12
Рис.1 Площадь прямоугольника.
Рис.2 Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.: Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.	Рис.3 Площадь треугольника. 4.Площадь круга Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга. Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности. Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны: Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.	Рис.4 Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур Пусть даны две побные фигуры G и G’ (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.: Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.	Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. 6.Площадь трапеции Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.: Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.	Рис.6 Площадь трапеции.