Как отличить выпуклый и невыпуклый многоугольник
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник
Вы будете перенаправлены на Автор24
Понятие многоугольника
Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.
Виды многоугольников
Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).
Рисунок 1. Выпуклый многоугольник
Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).
Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник
Сумма углов многоугольника
Доказательство.
Теорема доказана.
Готовые работы на аналогичную тему
Понятие четырехугольника
Рисунок 4. Четырехугольник
Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).
Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники
Доказательство.
Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется
Теорема доказана.
Примеры задач
Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.
Решение.
Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется
Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется
Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется
Решение.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 05 2021
Справочник по математике
математика, алгебра, геометрия
§ 6. Многоугольник
Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, F — вершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда 2р (тогда р — полупериметр).
В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.
Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.
Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.
Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).
Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.
* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Многоугольники-1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Многоугольники-1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники.
На рисунке справа изображена незамкнутая ломаная А1A2A3A4A5А6, имеющая самопересечения.
Задача 1. Какое наибольшее число самопересечений может иметь ломаная, состоящая из четырёх звеньев? Пяти звеньев? А если известно, что ломаная замкнутая?
Определение 2. Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная несамопересекающейся замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называются сторонами многоугольника, а сама ломаная – контуром (или границей) многоугольника.
На рисунке слева изображён многоугольник А1A2A3A4A5.
Задача 2. Про два многоугольника известно, что они имеют общую внутреннюю точку (не лежащую на их контурах). Верно ли, что пересечение двух многоугольников (если оно не пусто) является многоугольником? Верно ли, что их объединение является многоугольником?
Задача 3. Могут ли у многоугольника найтись две стороны, лежащие на одной прямой? А миллион таких сторон?
Определение 3а. Многоугольник называется выпуклым по Михаилу Юрьевичу, если любой отрезок с концами в точках, лежащих в многоугольнике, целиком ему принадлежит.
Определение 3б. Многоугольник называется выпуклым по Николаю Александровичу, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей одну из сторон многоугольника.
Задача 4. Является ли многоугольник, изображённый на рисунке слева от определения 2, выпуклым по Михаилу Юрьевичу? А выпуклым по Николаю Александровичу? Почему?
Задача 5. Объясните, почему любой выпуклый по Николаю Александровичу многоугольник является выпуклым и по Михаилу Юрьевичу?
(Начало решения. Пусть нашёлся многоугольник, который является выпуклым по Николаю Александровичу, но не является выпуклым по Михаилу Юрьевичу. Тогда в нём найдутся две точки такие, что соединяющий их отрезок пересекает контур многоугольника. Но это невозможно по причине того, что. )
Задача 6. Наоборот, объясните, почему и любой выпуклый по Михаилу Юрьевичу многоугольник является выпуклым по Николаю Александровичу?
(Указание. Решайте задачу методом «от противного», как и задачу 5.)
Замечание. Решив задачи 5, 6, мы доказали эквивалентность определений 3а и 3б. Поэтому мы можем, не рискуя запутаться, называть многоугольник, для которого удалось проверить одно из определений, просто выпуклым.
Задача 7. Проверьте, что в случае выпуклых многоугольников ответы на вопросы задачи 2 положительны. Посмотрите, можно ли эти задачи обобщить на случаи трёх и большего числа многоугольников.
Задача 8. Может ли выпуклый многоугольник обладать двумя сторонами, лежащими на одной прямой?
Задача 9. Ученик шестого класса придумал такое определение: «Многоугольник называется выпуклым, если любая прямая на плоскости либо не пересекается с многоугольником, либо пересекается с ним по точке, либо пересекается с ним по отрезку.» Докажите, что оно эквивалентно определениям 3а и 3б.
Попробуйте придумать своё определение выпуклого многоугольника, которое будет эквивалентно перечисленным.
Выпуклые многогранные углы
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.
Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Описание слайда:
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.
Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками.
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Упражнение 1
На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые плоские фигуры.
Ответ: а), г) – выпуклые; б), в) – невыпуклые.
Описание слайда:
Упражнение 2
Всегда ли пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?
Ответ: Да.
Описание слайда:
Упражнение 3
Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?
Ответ: Нет.
Описание слайда:
Упражнение 4
Можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол с такими плоскими углами: а) 56о, 98о, 139о и 72о; б) 32о, 49о, 78о и 162о; в) 85о, 112о, 34о и 129о; г) 43о, 84о, 125о и 101о.
Ответ: а) Нет;
б) да;
в) нет;
г) да.
Описание слайда:
Упражнение 5
На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.
Ответ: б), д) – выпуклые; а), в), г) – невыпуклые.
Описание слайда:
Упражнение 6
Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?
Ответ: Нет.
Описание слайда:
Упражнение 7
Может ли сечением выпуклого многогранника плоскостью быть невыпуклый многоугольник?
Ответ: Нет.
Описание слайда:
Упражнение 8
Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую призму.
Ответ: Например,
Описание слайда:
Упражнение 9
Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую пирамиду.
Ответ: Например,
Описание слайда:
Упражнение 10
Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Ответ: Например, многогранник, составленный из семи кубов, называемый пространственным крестом.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
CrossEye
Криптографические методы защиты информации
Первые шаги в Страну Знаний
Дифференциация [ш] – [ж]
Дербес компьютер
Документознавство та інформаційна діяльність
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5414796 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Петербургский Политех перевел студентов на дистанционку
Время чтения: 1 минута
Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах
Время чтения: 1 минута
В российских школах могут появиться «службы примирения»
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Совфед отклонил закон о верифицированных онлайн-платформах и учебниках
Время чтения: 2 минуты
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Как эффективно определить, является ли многоугольник выпуклым, невыпуклым или сложным?
из man-страницы для XFillPolygon :
если shape is комплекс путь может иметь самопересечений. Обратите внимание, что смежные совпадающие точки На пути не рассматриваются как самосечение.
если shape is выпуклой, для каждой пары точек внутри многоугольника, отрезок прямой, соединяющий их, не пересекает путь. Если известно клиенту, указав выпуклой может улучшить производительность. Если указать выпуклой для пути, который не является выпуклым, Результаты Графики не определены.
если shape is Nonconvex, путь не пересекается сам с собой, но форма не является полностью выпуклой. Если известно клиенту, указав Nonconvex вместо комплекс может повысить производительность. Если указать Nonconvex для a self-intersecting path, Результаты Графики не определены.
существует ли эффективный алгоритм для определения того, является ли многоугольник (определенный серией координат) выпуклым, невыпуклым или сложным?
10 ответов
Примечание: вычисление выпуклой оболочки набора точек совершенно необязательно, если вы просто хотите определить, представляет ли список точек, представляющих многоугольник, выпуклый многоугольник.
предполагая, что все ваши полигоны находятся в порядке против часовой стрелки, в тот момент, когда ваш не начальный полярный угол делает левый поворот, вы знаете, что он не выпуклый.
вы могли бы увидеть, если сегменты линии пересекайтесь друг с другом, чтобы выяснить, является ли многоугольник сложным (но я не уверен, что это самый быстрый способ).
вы можете сделать вещи намного проще, чем алгоритм подарочной упаковки. это хороший ответ, когда у вас есть набор точек без какой-либо конкретной границы, и нужно найти выпуклую оболочку.
напротив, рассмотрим случай, когда многоугольник не является самопересекающимся и состоит из набора точек в списке, где последовательные точки образуют границу. В этом случае гораздо проще выяснить, является ли многоугольник выпуклым или нет (и вам не нужно вычислять какие-либо углы, либо):
для каждой последовательной пары ребер многоугольника (каждого триплета точек) вычислите z-компонент поперечного произведения векторов, определенных ребрами, указывающими на точки в порядке возрастания. Взять векторное произведение этих векторов:
многоугольник выпукл, если z-компоненты поперечных произведений либо все положительные, либо все отрицательные. В противном случае многоугольник называется невыпуклым.
Если есть N точек, убедитесь, что вы вычисляете N перекрестных произведений, например, обязательно используйте триплеты (p[N-2],p[N-1],p[0]) и (p[N-1],p[0],p[1]).
если многоугольник является самопересекающимся, то это не соответствует техническому определению выпуклости даже если его направленные углы находятся в одном направлении, в этом случае вышеуказанный подход не даст правильного результата.
следующая функция/метод Java является реализацией алгоритма, описанного в ответ.
алгоритм гарантированно работает до тех пор, пока вершины упорядочены (по часовой стрелке или против часовой стрелки), и у вас нет самопересекающихся ребер (т. е. он работает только для простые многоугольники).
этот вопрос теперь является первым элементом в Bing или Google при поиске «определить выпуклый многоугольник.- Однако ни один из ответов недостаточно хорош.
The принятый ответ от @EugeneYokota работает, проверяя, можно ли сделать неупорядоченный набор точек выпуклым многоугольником, но это не то, что просил OP. Он попросил способ проверить, является ли данный многоугольник выпуклым или нет. («Многоугольник» в информатике обычно определено [как в документация XFillPolygon] как упорядоченный массив 2D точек, с последовательными точками, Соединенными со стороной, а также последней точкой к первой.) Кроме того, алгоритм подарочной упаковки в этом случае будет иметь временную сложность O(n^2) на n points-что намного больше, чем необходимо для решения этой проблемы, в то время как вопрос требует эффективного алгоритма.
ответ @ JasonS вместе с другие ответы, которые следуют его идее, принимает звездчатых многоугольников например,пентаграмма или в комментарии @zenna, но звездные полигоны не считаются выпуклыми. Как @plasmacel отмечает в комментарии, это хороший подход для использования, если у вас есть предварительные знания о том, что многоугольник не является самопересекающимся, но он может потерпеть неудачу, если у вас нет этих знаний.
@ LorenPechtel добавил ответ после ее редактирования лучше всего здесь, но это неопределенно.
правильный алгоритм с оптимальной сложностью
вот код для Python 3, который реализует алгоритм и включает в себя некоторые незначительные эффективности. Код выглядит длиннее, чем на самом деле, из-за строк комментариев и бухгалтерии, участвующих во избежание повторных точечных обращений.