Как открывать скобки при делении
Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)
Правила раскрытия скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:
Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:
Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
Упрощаем получившееся выражение…
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
Раскрытие скобок: правила и примеры
Раскрытие скобок и правила применения — это одна из основных тем математике, на базе которой решаются многие задания во всех последующих классах. Поэтому правила раскрытия скобок необходимо усвоить в обязательном порядке.
Раскрытие скобок: правила
Правило раскрытия скобок при сложении
Если перед скобками стоит плюс, то скобки просто опускаются.
Иными словами, скобки исчезнут, а то, что было в скобках, запишется без изменений.
Например, (a−b) = a−b.
В данном правиле следует учитывать, что в математике не принято писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа 2 и 3, то запишем 2+3, а не +2+3. Значит перед скобками, которые стоят в начале выражения, стоит плюс, который не пишут.
Пример 1: 8+(5−3) = 10. Ответ: 8+5–3 = 10.
Пример 2: 6+(−1+2) = 7. Ответ: 6–1+2 = 7.
Пример 3: 8a + (3b −6a). Ответ: 8a + 3b −6a = 2a + 3b.
Правило раскрытия скобок при вычитании
Если перед скобками стоит минус, то скобки опускаются, а каждое слагаемое внутри нее меняет свой знак на противоположный.
Например, −(a−b) = −a+b
Пример 1: 8–(5–3) = 6. Ответ: 8 – 5 + 3 = 6.
Пример 2: 6 − (−1 + 2) = 5. Ответ: 6 + 1 – 2 = 5.
Пример 3: 8a–(3b −6a). Ответ: 8a – 3b + 6a = 14a – 3b.
Пример 4: −(5b −2). Ответ: −5b +2.
Раскрытие скобок при умножении
Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на множитель, стоящий перед скобками.
При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс дает минус.
Данное правило основано на распределительном законе умножения: a(b+c) = ab + ac.
Пример 1: 8×(5 − 3) = 16. Ответ: 8 ×5 − 8 ×3 = 16.
Пример 2: a×(7 +2). Ответ: a×7+a×2 = 7a + 2a = 9a.
Пример 3: 8×(3b −6a). Ответ: 8×3b – 8×6a = 24b–48a
Раскрытие скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок.
Пример 1: (25−15):5. Ответ: 25:5−15:5= 2.
Пример 2: (−14a +10):2. Ответ: −14a:2 +10:2 = −7a +5.
Пример 3: (36b + 6a):6. Ответ: 36b:6 + 6a:6 = 6b + a.
Раскрытие скобок при умножении двух скобок
При умножении скобки на скобку, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Например, (c+d) × (a−b) = c×(a−b)+d×(a−b) = ca−cb+da−db
Пример. Раскрыть скобки: (2−a) × (3a−1).
Решение:
Шаг 1. Убираем первую скобку (каждое ее слагаемое умножаем на вторую скобку): 2 × (3a−1) − a × (3a−1).
Шаг 2. Раскрываем произведение скобок: (2×3a− 2×1) – (a×3a−a×1) = 2×3a− 2×1 – a×3a + a×1.
Шаг 3. Перемножаем и приводим подобные слагаемые: 6a–2–3a2+a = 7a–2–3a2
Раскрытие вложенных скобок
Иногда встречаются примеры со скобками, которые вложены в другие скобки. Чтобы решить такую задачу, нужно сначала раскрыть внутреннюю скобку (при этом остальное выражение оставить без изменений), а потом внешнюю скобку.
Пример 1. 7a + 2 × (5− (3a+b)).
Решение:
Шаг 1. Раскроем внутреннюю скобку (не трогая остальное): 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2 × (5 − 3a − b).
Шаг 2. Раскроем внешнюю скобку: 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2×5 − 2×3a − 2×b.
Шаг 3. Упростим выражение: 7a + 10 − 6a − 2b = a+10-2b.
Раскрытие скобок в натуральной степени
Если стоит скобка в натуральной степени (n), то чтобы раскрыть скобки, нужно найти произведение скобок, перемноженных несколько раз (n раз).
Например, в примере (a+b)2 = (a+b)×(a+b) нужно перемножить скобки (a+b) два раза, далее раскрываем скобки, где каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Раскрытие скобок
Понятие раскрытия скобок
В задачах по математике постоянно встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые составлены с использованием скобок.
Основная функция скобок — менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений.
Часто можно перейти от одного выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок. Например:
Такой переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок несет в себе основную идею о раскрытии скобок.
Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства, как мы это сделали в предыдущем примере.
В школе тему раскрытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают, как избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий. И изучают раскрытие скобок на примерах выражений, которые содержат:
Раскрытие скобок также можно рассматривать шире.
Раскрытием скобок можно назвать переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:
Или, если в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Например:
Раскрытие скобок — это избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.
Важно отметить еще один момент, который касается особенностей записи решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях можно прописывать промежуточные результаты в виде цепочки равенств. Например, вот так:
Первое правило раскрытия скобок
Это выражение равно двум. А теперь раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.
Первое правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак плюс — все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.
Формула раскрытия скобок
Мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Значит плюс нужно опустить вместе со скобками. То, что было в скобках — запишем без изменений, вот так:
Так мы получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем в результате вычисления два.
Поэтому между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Потренируемся применять правило на примерах.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 8 + (−3 − 1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опустим вместе со скобками. А то, что было в скобках оставим без изменений:
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)
Перед скобками стоит плюс, значит применим то же правило:
Раскрытие скобок в предыдущих пример выглядит, как обратная операция замены вычитания сложением.
В выражении 6 − 2 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 6 + (−2). Но если в выражении 6 + (−2) раскрыть скобки, то получится снова 6 − 2.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после любых других преобразований.
Идем дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.
Чтобы упростить такое выражение, нужно привести подобные слагаемые. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок: опустим скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
Таким образом, выражение 2a + a − 5b + b упрощается до 3a − 4b.
После открытия одних скобок, по пути можно найти другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в таком выражении:
Здесь нужно раскрыть скобки в двух местах. Снова применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед:
Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)
В обоих местах перед скобками стоит плюс. Применяем первое правило раскрытия скобок:
Можно встретить такой пример, когда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1 + (2 + 3 − 4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ интуитивно понятен — перед двойкой будет стоять плюс.
Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим так как плюс не принято записывать. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но плюсы по традиции не записывают, поэтому положительные числа мы всегда видим в таком виде: 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1 + (2 + 3 − 4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)
Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим так как до него нет других чисел или выражений. Убираем скобки, применив первое правило раскрытия скобок:
Пример 5. Раскрыть скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)
Видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишем без изменений:
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Второе правило раскрытия скобок
Здесь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Звучит так:
Второе правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак минус — все числа, которые стоят внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.
Формула раскрытия скобок
Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Так мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
Поэтому между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 + 2 + 3 можно поставить знак равенства так как они равны одному и тому же значению:
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 18 − (−1 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
18 − (−1 − 5) = 18 + 1 + 5
Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)
Здесь мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае применим второе правило раскрытия скобок, а во втором — первое правило:
−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении a − (3b + 3) + 10
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
a − (3b + 3) + 10 = a − 3b − 3 + 10
Другие правила раскрытия скобок
Правило раскрытия скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок.
Формула раскрытия скобок
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые.
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число:
Далее умножим скобку на число:
Правило раскрытия скобок при умножении:
Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.
Формула раскрытия скобок
Пример 1. Раскрыть скобки 5(3 − x)
В скобке у нас стоят 3 и −x, а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки нужно умножить на 5:
Знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример 2. Упростить выражение: 5(x + y) − 2(x − y)
Как решаем: 5(x + y) − 2(x − y) = 5x + 5y − 2x + 2y = 3x + 7y.
Таблица с формулами раскрытия скобок
Эти таблицы с правилами раскрытия скобок можно распечатать и обращаться к ним, когда возникнут сомнения в ходе решения задачки.
Правила раскрытия круглых скобок вида (-a), в которых находится одночлен
Правила раскрытия круглых скобок, в которых находится многочлен
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные, если:
Раскрытие круглых скобок при умножении одночлена на многочлен
Раскрытие круглых скобок при умножении многочлена на многочлен
Раскрытие круглых скобок при возведении многочлена в степень
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Скобка в скобке
В 7 классе на алгебре можно встретить задачи со скобками, которые вложены внутрь других скобок. Вот пример такого задания:
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение и просто переписывать его, как есть. Разберем подробнее тот же самый пример.
Пример 1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые 7x + 2(5 − (3x + y))
Начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относится – это сама скобка и минус перед ней. Всё остальное переписываем также как было.
Теперь раскроем вторую скобку, внешнюю:
Упростим получившееся выражение:
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида. То есть в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:
Пример 1. Раскрыть скобки и упростить выражение:
Значение выражения не зависит от переменной и всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного решения
На алгебре в 6 и 7 классе придется решать задачки с раскрытием скобок много и часто. Поэтому лучше запомнить правила и практиковаться уже сейчас.
Задание 6. Раскройте скобки:
Задание 7. Раскройте скобки:
Раскрытие скобок: правила, примеры, решения
Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.
Что называется раскрытием скобок?
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · ( 3 + 4 ) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.
Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:
Правила раскрытия скобок, примеры
Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.
У одиночных чисел в скобках
Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.
Следует понимать, что записать выражение 3 · ( − 5 ) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.
Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.
Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.
В произведениях двух чисел
Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.
Рассмотрим несколько примеров.
На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.
Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.
В произведениях трех и большего количества чисел
Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.
Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»
Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.
Вот еще один пример раскрытия скобок:
Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус
Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Умножение скобки на скобку
Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.
Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.
Формула будет иметь вид:
Проведем раскрытие скобок в выражении ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) = = ( 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6 ) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
Скобка в натуральной степени
Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.
Разберем еще один пример:
1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2
Деление скобки на число и скобки на скобку
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Вот еще один пример деления на скобку:
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок выполнения действий:
Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.