Как открыть модуль в неравенстве
Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Решение неравенств с модулем
Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.
Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)
Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.
Что уже нужно знать
Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:
Начнём со второго пункта.
Определение модуля
Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:
Записывается это так:
Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.
Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).
Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:
Графическое определение модуля
Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.
Решение неравенств. Метод интервалов
Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.
На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):
Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:)
1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»
Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:
Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:
Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.
Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:
\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]
Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму:
Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.
Поскольку дальше нужно решить каждое неравенство отдельно, пора переходить к системе (можно было сделать это и раньше, но тогда решение получится чуть более громоздким):
Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:
Пересечение множеств
Пересечением этих множеств и будет ответ.
Задача. Решите неравенство:
\[\left| <
Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо:
Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму:
А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева:
Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве:
Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее:
Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве:
Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета:
Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго):
Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:
Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим.
2. Неравенства вида «Модуль больше функции»
Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:
Другими словами, мы рассматриваем два случая:
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.
Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются. Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!
Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:
Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман):
Разница между пересечением и объединением множеств
В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.
Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
Решение. Действуем по схеме:
Решаем каждое неравенство совокупности:
\[\left[ \begin
Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:
Объединение множеств
Задача. Решите неравенство:
Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств:
Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч:
Во втором неравенстве тоже немного дичи:
Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо.
Поэтому давайте сравнивать:
Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат:
Случай некрасивых корней
Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.
Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше.
3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»
Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида:
\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]
Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения:
\[f \gt g,\quad f\ge 0,g\ge 0\]
Что делать с этими задачами? Просто помните:
В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.
Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни:
Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата:
Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Решение. Сразу заметим две вещи:
Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов:
Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов. Только аккуратно:
Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению:
Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое!
Избавление от знака модуля
Ну вот и всё. Задача решена.
Задача. Решите неравенство:
Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.
Возводим в квадрат:
Всего один корень на числовой прямой:
Ответ — целый интервал
Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.
Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:)
4. Метод перебора вариантов
А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?
Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:
Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:
\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac<3><2>\]
Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни:
Итого у нас два корня, которые разбивают числовую прямую на три участка, внутри которых каждый модуль раскрывается однозначно:
Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций
Рассмотрим каждый участок отдельно.
Снова пересекаем с исходным требованием:
И снова пустое множество решений, поскольку нет таких чисел, которые одновременно меньше −2,5, но больше −2.
\[\begin
И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением:
Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом.
Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:
Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона.
Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами.
Помните об этом, когда проверяете свои решения.
Уроки математики и физики для школьников и родителей
четверг, 3 октября 2019 г.
Урок 11. Неравенства с модулем
означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.
Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.
Применяется эта теорема при решении неравенств с модулем так.
Пусть нужно решить неравенство
Так как при любых х из области определения выражений
то данное неравенство равносильно неравенству
Так как обе части неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получаем равносильное неравенство :
х 2 + 2 х + 1 х 2 – 6 х + 9.
Это неравенство равносильно неравенству
Построим графики функций
лежит ниже графика функции
а при х ˃ 1 – выше. Поэтому множество решений данного неравенства – промежуток (–∞; 1).
Неравенства с модулем
Если вы научились решать уравнения с модулями – значит, сможете справиться и с неравенствами.
1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.
Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.
2) Имеем в данном случае:
Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].
3) . Имеем:
Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.
Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.
Ответ:
Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему
В нашей задаче получаем:
Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.
Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.
Решение неравенств с модулями
Описание презентации по отдельным слайдам:
Неравенства с модулями 11 класс презентация—— Абрамова Светлана Ивановна
Неравенства вида F(|f(x)|) v 0 заменой y=|f(x)| сводятся к равносильной системе : F(y) v 0 y ≥ 0
Неравенства вида |f1(x)|±|f2(x)|±…±|fn(x)| v a решаются тем же самым методом интервалов, что и уравнения с модулем. Разница лишь в том, что в данном случае в каждом интервале решается не уравнение, а неравенство и из решений неравенства выбираются те, которые принадлежат данному интервалу. В остальном метод интервалов остается тем же, что и при решении уравнений с модулем. Не следует путать этот метод с методом интервалов, применяемым для решения рациональных и дробно-рациональных неравенств. Внимание! Click to add title
! Презентация составлена учителем математики Абрамовой С.И. К элективному курсу 11 класс по теме « Решение Неравенств модулями» 24.12.18г Click to add title
Click to add title
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Решение неравенств с модулями является одной из сложных тем, которая включена в ЕГЭ по математике, поэтому данную тему я рассматриваю на уроках при изучении темы неравенств а так же и на элективном курсе.
Неравенства решаются тем же самым методом интервалов, что и уравнения с модулем. Разница лишь в том, что в данном случаев каждом интервале решается не уравнение, а неравенство и из решений неравенства выбираются те, которые принадлежат данному интервалу. В остальном метод интервалов остается тем же, что и при решении уравнений с модулем.
Номер материала: ДБ-349231
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Петербургский Политех перевел студентов на дистанционку
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В Москве новогодние каникулы в школах могут начаться с 27 декабря
Время чтения: 1 минута
Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год
Время чтения: 2 минуты
Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.