Как оформлять задачи по астрономии

Примеры решений задач по астрономии

Фокусное расстояние объектива телескопа составляет 900 мм, а фокусное расстояние используемого окуляра 25 мм. Определите увеличение телескопа.

Увеличение телескопа определяется из соотношения: , где F – фокусное расстояние объектива, f – фокусное расстояние окуляра. Таким образом, увеличение телескопа составит раз.

Переведите в часовую меру долготу Красноярска (l=92°52¢ в.д.).

Исходя из соотношений часовой меры угла и градусной:

24 ч =360°, 1 ч =15°, 1 мин =15¢, 1 с = 15², а 1°=4 мин, и учитывая, что 92°52¢ = 92,87°, получим:

1 ч · 92,87°/15°= 6,19 ч = 6 ч 11 мин. в.д.

Ответ: 6 ч 11 мин. в.д.

Каково склонение звезды, если она кульминирует на высоте 63° в Красноярске, географическая широта которого равна 56° с.ш.?

Используя соотношение, связывающие высоту светила в верхней кульминации, кульминирующего к югу от зенита, h, склонение светила δ и широту места наблюдения φ, h = δ + (90° – φ), получим:

δ = h + φ – 90° = 63° + 56° – 90° = 29°.

Когда в Гринвиче 10 ч 17 мин 14 с, в некотором пункте местное время равно 12 ч 43 мин 21 с. Какова долгота этого пункта?

Местное время – это среднее солнечное время, а местное время Гринвича – это всемирное время. Воспользовавшись соотношением, связывающим среднее солнечное время T_m, всемирное время T₀ и долготу l, выраженную в часовой мере: T_m = T₀ +l, получим:

l = T_m – T₀ = 12 ч 43 мин 21 с. – 10 ч 17 мин 14 с = 2ч 26 мин 07 с.

Ответ: 2ч 26 мин 07 с.

Через какой промежуток времени повторяются моменты максимальной удаленности Венеры от Земли, если ее звездный период равен 224,70 сут?

Венера является нижней (внутренней) планетой. Конфигурация планеты, при которой происходит максимальная удаленность внутренней планеты от Земли, называется верхним соединением. А промежуток времени между последовательными одноименными конфигурациями планеты называется синодическим периодом S. Поэтому необходимо найти синодический период обращения Венеры. Воспользовавшись уравнением синодического движения для нижних (внутренних) планет , где T – сидерический, или звездный период обращения планеты, T_Å – сидерический период обращения Земли (звездный год), равный 365,26 средних солнечных суток, найдем:

=583,91 сут.

Звездный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет около 12 лет. Каково среднее расстояние Юпитера от Солнца?

Среднее расстояние планеты от Солнца равно большой полуоси эллиптической орбиты a. Из третьего закона Кеплера , сравнивая движение планеты с Землей, для которой приняв звездный период обращения T₂ = 1 год, а большую полуось орбиты a₂ = 1 а.е., получим простое выражение для определения среднего расстояния планеты от Солнца в астрономических единицах по известному звездному (сидерическому) периоду обращения, выраженному в годах. Подставив численные значения окончательно найдем:

≈ 5 а.е.

Определите расстояние от Земли до Марса в момент его противостояния, когда его горизонтальный параллакс равен 18².

Из формулы для определения геоцентрических расстояний , где ρ – горизонтальный параллакс светила, R_Å = 6378 км – средний радиус Земли, определим расстояние до Марса в момент противостояния:

» 73×10 6 км. Разделив это значение на величину астрономической единицы, получим 73×10 6 км / 149,6×10 6 км » 0,5 а.е.

Ответ: 73×10 6 км » 0,5 а.е.

Горизонтальный параллакс Солнца равен 8,8². На каком расстоянии от Земли (в а.е.) находился Юпитер, когда его горизонтальный параллакс был 1,5²?

Из формулы видно, что геоцентрическое расстояние одного светила D₁ обратно пропорционально его горизонтальному параллаксу ρ₁, т.е. . Аналогичную пропорциональность можно записать для другого светила у которого известны расстояние D₂ и горизонтальный параллакс ρ₂: . Разделив одно соотношение на другое, получим . Таким образом, зная из условия задачи, что горизонтальный параллакс Солнца равен 8,8², при этом оно находится на 1 а.е. от Земли, можно легко найти расстояние до Юпитера по известному горизонтальному параллаксу планеты в этот момент:

=5,9 а.е.

Определите линейный радиус Марса, если известно, что во время великого противостояния его угловой радиус составляет 12,5², а горизонтальный параллакс равен 23,4².

Линейный радиус светил R можно определить из соотношения , r – угловой радиус светила, r₀ – его горизонтальный параллакс, R_Å – радиус Земли, равный 6378 км. Подставив значения из условия задачи, получим: = 3407 км.

Во сколько раз масса Плутона меньше массы Земли, если известно, что расстояние до его спутника Харона 19,64×10 3 км, а период обращения спутника равен 6,4 сут. Расстояние Луны от Земли составляет 3,84×10 5 км, а период обращения 27,3 сут.

Для определения масс небесных тел нужно воспользоваться третьим обобщенным законом Кеплера: . Так как массы планет M₁ и М₂ значительно меньше, чем массы их спутников m₁ и m₂, то массами спутников можно пренебречь. Тогда этот закон Кеплера можно переписать в следующем виде: , где а₁ – большая полуось орбиты спутника первой планеты с массой M₁, T₁ – период обращения спутника первой планеты, а₂ – большая полуось орбиты спутника второй планеты с массой M₂, T₂ – период обращения спутника второй планеты.

Подставив соответствующие значения из условия задачи, получим:

= 0,0024.

Ответ: в 0,0024 раза.

Космический зонд «Гюйгенс» 14 января 2005 года совершил посадку на спутник Сатурна Титан. Во время снижения он передал на Землю фотографию поверхности этого небесного тела, на которой видны образования похожие на реки и моря. Оцените среднюю температуру на поверхности Титана. Как Вы думаете, из какой жидкости могут состоять реки и моря на Титане?

Указание: Расстояние от Солнца до Сатурна составляет 9,54 а.е. Отражательную способность Земли и Титана считать одинаковой, а среднюю температуру на поверхности Земли равной 16°С.

Энергии, получаемые Землей и Титаном обратно пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца r. Часть энергии отражается, часть поглощается и идет на нагрев поверхности. Считая, что отражательная способность этих небесных тел одинакова, то процент энергии идущий на нагрев этих тел будет одинаков. Оценим температуру поверхности Титана в приближении абсолютно черного тела, т.е. когда количество поглощаемой энергии равно количеству излучаемой энергии нагретым телом. Согласно закону Стефана-Больцмана энергия, излучаемая единицей поверхности в единицу времени пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры тела . Таким образом, для энергии, поглощаемой Землей можем записать , где r_з – расстояние от Солнца до Земли, T_з –средняя температура на поверхности Земли, а Титаном – , где r_c – расстояние от Солнца до Сатурна с его спутником Титаном, T_T –средняя температура на поверхности Титана. Взяв отношение, получим: , отсюда 94°K = (94°K – 273°K) = –179°С. При такой низкой температуре моря на Титане могут состоять из жидкого газа, например, метана или этана.

Ответ: Из жидкого газа, например, метана или этана, так как температура на Титане –179°С.

Какую видимую звездную величину имеет Солнце, наблюдаемое с ближайшей звезды? Расстояние до нее составляет около 270 000 а.е.

Воспользуемся формулой Погсона: , где I₁ и I₂ – яркости источников, m₁ и m₂ – их звездные величины соответственно. Так как яркость обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника , то можно записать . Логарифмируя это выражение, получим . Известно, что видимая звездная величина Солнца с Земли (с расстояния r₁ = 1 а.е.) m₁ = –26,8. Требуется найти видимую звездную величину Солнца m₂ с расстояния r₂ = 270 000 а.е. Подставив эти значения в выражение, получим:

Годичный параллакс Сириуса (a Большого Пса) составляет 0,377². Чему равно расстояние до этой звезды в парсеках и световых годах?

Расстояния до звезд в парсеках определяется из соотношения , где π – годичный параллакс звезды. Поэтому = 2,65 пк. Так 1 пк = 3,26 св. г., то расстояние до Сириуса в световых годах будет составлять 2,65 пк · 3,26 св. г. = 8,64 св. г.

Ответ: 2,63 пк или 8,64 св. г.

Абсолютная звездная величина M связана с видимой звездной величиной m и расстоянием до звезды r в парсеках следующим соотношением: . Эту формулу можно вывести из формулы Погсона , зная, что абсолютная звездная величина – это звездная величина, которую имела бы звезда, если бы она находилась на стандартном расстоянии r₀ = 10 пк. Для этого перепишем формулу Погсона в виде , где I – яркость звезды на Земле c расстояния r, а I₀ – яркость с расстояния r₀ = 10 пк. Так как видимая яркость звезды изменятся обратно пропорционально квадрату расстояния до нее, т.е. , то . Логарифмируя, получаем: или или .

Подставив в это соотношение значения из условия задачи, получим:

Во сколько раз звезда Арктур (a Волопаса) больше Солнца, если светимость Арктура в 100 раз больше солнечной, а температура 4500° К?

Светимость звезды L – полную энергию излучаемую звездой в единицу времени можно определить как , где S – площадь поверхности звезды, ε – энергия, излучаемая звездой с единицы площади поверхности, которая определяется законом Стефана-Больцмана , где σ – постоянная Стефана-Больцмана, T – абсолютная температура поверхности звезды. Таким образом, можно записать: , где R – радиус звезды. Для Солнца можно записать аналогичное выражение: , где L_с –светимость Солнца, R_с – радиус Солнца, T_с – температура поверхности Солнца. Разделив одно выражение на другое, получим:

Или можно записать это соотношение таким образом: . Приняв для Солнца R_с=1 и L_с=1, получим . Подставив значения из условия задачи, найдем радиус звезды в радиусах Солнца (или во сколько раз звезда больше или меньше Солнца):

≈ 18 раз.

Из соотношения , связывающего абсолютную звездную величину M с видимой звездной величиной m и расстоянием до звезды r, выраженному в парсеках, получим: = . Отсюда r ≈ 690 000 пк = 690 000 пк · 3,26 св. г. ≈2 250 000 св. л.

Ответ: примерно 2 250 000 св. л.

Квазар имеет красное смещение z = 0,1. Определите расстояние до квазара.

Указание: Считать, что постоянная Хаббла H = 70 км/(с∙Мпк).

Запишем закон Хаббла: , где v – лучевая скорость удаления галактики (квазара), r – расстояние до нее, H – постоянная Хаббла. С другой стороны, согласно эффекту Доплера, лучевая скорость движущегося объекта равна , с – скорость света, λ₀ – длина волны линии в спектре для неподвижного источника, λ – длина волны линии в спектре для движущегося источника, – красное смещение. А так как красное смещение в спектрах галактик интерпретируется как доплеровское смещение, связанное с их удалением, закон Хаббла часто записывают в виде: . Выразив расстояние до квазара r и подставив значения из условия задачи, получим:

≈ 430 Мпк = 430 Мпк · 3,26 св. г. ≈ 1,4 млрд. св.л.

Источник

Особенности решения задач по астрономии

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Особенности решения расчетных задач по астрономии

Осуществляя решения задач по астрономии учащиеся должны знать не только общий алгоритм решения задач, но и уметь работать с частными структурами процесса решения задач. Приведем примеры таких структур, описанных в работах А.В. Усовой и адаптированных нами к задачам с астрономическим содержанием [1].

Правила решения астрономических задач

Этап 1. Понять суть задачи.

1. Внимательно прочитать текст задачи.

2. Разбить текст задачи на такие фрагменты, в каждом из которых речь идет только об одной теме, об одном явлении, об одном астрономическом объекте, об одной астрофизической или астрономической величине.

3. Выяснить смысл всех непонятных слов и выражений.

4. Записать, что дано (известно из условия задачи) и что требуется найти.

5. Сделать схематический рисунок или серию рисунков, если позволяет характер задачи. Указать на чертеже все векторные величины, выбрать систему отсчета.

6. Кратко, одним-двумя предложениями, сделать запись, выражающую суть задачи.

Этап 2. Составить план решения задачи.

1. Рассмотреть астрономическую (астрофизическую) картину задачи, уяснив для себя, о каких темах и взаимодействиях тел идет речь в задаче, какие явления и процессы имеют место, какие принимаются упрощения (идеализация), какие величины описывают свойства астрономических объектов и явлений, какие связи (отношения) существуют между этими величинами.

2. Провести анализ задачи. Пояснить все буквенные обозначения величин.

3. Составить план решения задачи. Приведя систему уравнений – следует пояснить каждое из них.

Этап 3. Реализовать план решения задачи.

1. Найти решение задачи в общем виде, проверить, правильная ли размерность получается у искомой величины.

2. Выполнить операции с наименованиями единиц измерения астрономических (астрофизических) величин, произвести необходимые расчеты, соблюдая правила приближенных вычислений и.

Этап 4. Проанализировать полученный результат.

1. Оценить правдоподобность полученного численного результата.

2. Установить и оценить все частные (предельные) случаи.

3. Записать полученный ответ в требуемой форме.

Общий алгоритм решения астрономических (астрофизических) задач

1. Внимательно прочитайте условие задачи и уясните основной вопрос; представьте процессы и явления, описанные в условии задачи.

2. Повторно прочитайте содержание задачи для того, чтобы четко представить основной вопрос задачи, цель ее решения, известные величины, опираясь на которые можно вести поиски решения.

3. Произведите краткую запись условия задачи с помощью общепринятых буквенных обозначений.

4. Выполните рисунок или чертеж к задаче.

5. Определите, каким методом будет решаться задача; составьте план ее решения.

6. Запишите основные уравнения, описывающие процессы, предложенные задачной системой.

7. Запишите решение в общем виде, выразив искомые величины через заданные.

8. Проверьте правильность решения задачи в общем виде, произведя действия с наименованиями величин.

9. Произведите вычисления с заданной точностью.

10. Произведите оценку реальности полученного решения.

Алгоритм преобразования единиц физических величин

1. Запишите в левой части равенства численное значение рас сматриваемой величины с указанием наименования единицы ее измерения, а в правой части равенства выделите наименование величины с коэффициентом «единица»:

1 кпк = 3,25 · 10 3 · 1 св. лет.

2. Запишите соотношение заданной единицы величины с но выми единицами измерения:

1 св. год = 3 · 10 8 (м/с) · 3600 · 24 · 365 (с)= 9,5 · 10 15 (м).

3. В левой части равенства запишите численное значение за данной величины, а в правой – соотношения через новые еди ницы:

1 кпк = 3,25 · 10 3 · 9,5 · 10 15 м.

4. В правой части равенства осуществите все действия с ко эффициентами и наименованиями:

1 кпк = 3,0875 · 10 18 м.

Алгоритм выполнения действий с единицами

1. Напишите формулу, выражающую связь величины, единицу которой нужно определить, с другими величинами (их единицы уже известны и являются исходными).

Например, необходимо определить единицу силы в СИ. Для этого запишите определяющую формулу для величины силы:

(1)

2. Вместо букв, обозначающих значения величин, запишите наименования их единиц измерения в системе СИ:

3. Произведите действия с единицами:

Если есть необходимость, то введите название единицы, т. е.

Рассмотрим примеры решения задач с астрономическим содержанием с использованием выше описанных частных структур процесса решения задач.

Комментарий к решению. Воспользуемся правилом решения астрономических задач. Свяжем центростремительное ускорение спутника на орбите с радиусом траектории и периодом обращения спутника вокруг планеты, а так же воспользуемся вторым законом Ньютона и законом гравитации для определения центростремительного ускорения:

.

Для определения массы планеты воспользуемся формулой ускорения свободного падения: Подставив полученное выражение для произведения гравитационной постоянной и массы планеты в формулу для вычисления куба радиуса орбиты спутника и, преобразовав ее, получим радиус орбиты спутника. Подставим числовые значения, предварительно переведя единицы измерения в систему СИ и получим значение радиуса орбиты спутника 400 км.

2. На поверхности Марса тело свободно падает с высоты 100 м в течение примерно 7 с. С какой скоростью тело коснется поверхности Марса, падая с такой высоты?

Комментарий к решению. Воспользуемся правилом решения астрономических задач и представлением о свойствах явления свободное падение. Используя формулу расчета высоты свободно падающего тела, найдем ускорение свободного падения на Марсе: В уравнение скорости подставим полученное выражение и вычислим скорость 28,6м/с.

3. Звезда и массивная планета обращаются вокруг неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите массу планеты m , если известно, что скорость движения планеты равна , а скорость движения и период обращения звезды равны и Т соответственно.

Комментарий к решению. Свяжем центростремительное ускорение звезды с силой её притяжения планетой: , где M и m массы звезды и планеты, соответственно, R и r – радиусы их планет. Поскольку центр масс, остающийся неподвижным, всегда находится на прямой, соединяющей центры звезды и планеты, то период обращения планеты и звезды: ; . Решая систему трех уравнений относительно массу планеты, получаем:

4. Масса планеты составляет 0,2 от массы Земли, диаметр планеты втрое меньше диаметра Земли. Чему равно отношение периодов обращения искусственных спутников планеты и Земли , двигающихся по круговым орбитам на небольшой высоте?

5. Когда Земля (4 января) находится в перигелии, Солнце движется по небу с угловой скоростью 61′ в сутки, а 4 июля, когда Земля в афелии, – 57′ в сутки. Определите эксцентриситет земной орбиты.

Комментарий к решению. Используя третий закон Кеплера, формулы для расчёта перигельного q = а(1 — е) и афельного Q = а(1+ е) расстояний, формул для расчета угловой скорости планет в перигелии и в афелии находим эксцентриситет земной орбиты , .

6. Для разгона космических аппаратов в отрытом космосе и коррекции их орбит предложено использовать солнечный парус – скреплённый с аппаратом лёгкий экран большой площади из тонкой проволоки, которая зеркально отражает солнечный свет. Найдите ускорение, сообщаемое аппарату массой 500 кг (включая массу паруса), если парус имеет форму квадрата 100 м 100 м. Мощность W солнечного излучения, падающего на 1 м 2 поверхности, перпендикулярной солнечному свету, составляет 1370 Вт.

7. Для разгона космических аппаратов в открытом космосе и коррекции их орбит предложено использовать солнечный парус, скрепленный с аппаратом легкий экран большой площади из тонкой пленки, которая зеркально отражает солнечный свет. Какой должна быть минимальная площадь паруса S, чтобы давление лучей солнечною света могло сообщить аппарату массой 500 кг (включая массу паруса), находящемуся у орбиты Марса, ускорение 10 4 g? Мощность W солнечного излучения, падающего на 1 м 2 поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, составляет вблизи Земли 1370 Вт. Считать, что Марс находится в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля.

Комментарий к решению. Воспользуемся правилом решения астрономических задач и зависимостью давления солнечного излучения от мощности, коэффициента отражения и угла падения: . Из формулы давления находим, что сила давления: . Второй закон Ньютона: , , .

Учитывая, что Марс дальше от Солнца, чем Земля, считаем, что его солнечная постоянная в 1,5 раза меньше:.

Следовательно: ,

Комментарий к решению. Воспользуемся правилом решения астрономических задач и зависимостью давления солнечного излучения от мощности, коэффициента отражения и угла падения: . Из формулы, определяющей значения давления, производимого силой на твердую поверхность находим, что сила давления: . Второй закон Ньютона для описанного в задаче явления: , учтем как в рамках данной задачной ситуации рассчитывается сила гравитации и сила давления: .

Из формулы плотности находим, что масса: .

Следовательно:

1. Усова, А.В. Практикум по решению физических задач: для студентов физ.-мат. фак. / А.В.Усова, Н.Н. Тулькибаева. – М.: Просвещение, 2001.

2. Шефер, О.Р. Сборник задач и заданий к разделу «Строение Вселенной» курса физики средней (полной) школы: сборник задач / О.Р. Шефер, В.В. Шахматова. – Челябинск: Изд-во «Центр научного сотрудничества», 2011.

Источник