как найти номер арифметической прогрессии

Как найти номер арифметической прогрессии

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Оч-ч-чень полезная формула! Позволяет быстро и легко решать самые разнообразные задания по арифметической прогрессии. Имеет смысл освоить, правда?) Вот она, эта формула:

В чём главная суть формулы?

Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ » n» .

Разумеется, надо знать ещё первый член a₁ и разность прогрессии d, ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.

Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:

А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.

И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали.

Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a_n, мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.

В формуле n-го члена арифметической прогрессии:

Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a_n; a₁; d и n. Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.

Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:

Такая задачка может и в тупик поставить. Нет ни ряда, ни разности. Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a₁=5, а d=2.

А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a_n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:

Чаще всего обозначение a_n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:

Посчитать третий член можно через второй:

В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a₁, записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.

Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:

Дана арифметическая прогрессия (a_n). Найти a₁₂₁, если a₁=3, а d=1/6.

Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять. Часок-другой.)

А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.

В условиях приведены все данные для использования формулы: a₁=3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a₁₂₁. Вот и пишем:

Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:

Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы «a» и в скобках, да и считаем.

Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ » n» .

Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:

Найдите первый член арифметической прогрессии (a_n), если a₁₇=-2; d=-0,5.

Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:

А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член. Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да.

У нас ещё имеется номер n! В условии a₁₇=-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта «мелочь» часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без «мелочи», а не головы!) задачу не решить. Хотя. и без головы тоже.)

Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:

Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a₁= 6.

Ещё одна популярная задачка:

Найдите разность арифметической прогрессии (a_n), если a₁=2; a₁₅=12.

Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)

Соображаем, что нам известно: a₁=2; a₁₅=12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:

Это правильный ответ.

Так, задачи на a_n, a₁ и d порешали. Осталось научиться номер находить:

Число 99 является членом арифметической прогрессии (a_n), где a₁=12; d=3. Найти номер этого члена.

Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:

Выражаем из формулы n, считаем. Получим ответ: n=30.

А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):

Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a_n):

Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем. Как быть!? Ну, как быть, как быть. Включить творческие способности!)

Опять выражаем из формулы n, считаем и получаем:

Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.

Задача на основе реального варианта ГИА:

Арифметическая прогрессия задана условием:

Найти первый и десятый члены прогрессии.

Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:

Аналогично ищем десятый член:

Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.

Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:

Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй член равняется первый член плюс одно d:

Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d.

Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).

Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d.

Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d, всегда на один меньше, чем номер искомого члена n. Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):

Задания для самостоятельного решения.

Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да.

3. Арифметическая прогрессия задана условием: a₁ =-5,5; a_n+1= a_n+0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.

В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена. Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!

4. Дана арифметическая прогрессия (a_n):

Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.

Без формулы пришлось бы считать, да считать. Но формула здорово сокращает время решения и уменьшает количество ошибок. Ну и элемент фантазии должен помочь.)

5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.

Не самая простая задачка, да. ) Здесь способ «на пальцах» не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.

Ответы (в беспорядке):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Получилось? Это приятно!)

Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Арифметическая прогрессия онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов арифметической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которого, начиная со второго равен сумме предыдующего числа и некоторого постоянного числа d.

d— называется разностью прогрессии.

Очевидно, что при d >0 арифметическая прогрессия является возрастающей прогрессией, а при d Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов.

Доказательство. Из определения арифметической прогрессии, имеем:

Свойство 2 (обратное). Если в последовательности каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Из равенства (4) видно, что разность между предыдующими и последующими членами последовательности остаются постоянной. А это значит, что последовательность является арифметической прогрессией.

Из свойств 1 и 2 можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся арифметической прогрессией.

Свойство 3. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго есть средее арифметическое предыдующего и последующего членов.

Свойство 3 называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Пример 1. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность ниже, и если да, то определить ее разность:

Легко заметить, что предыдующый и последующий члены последовательности (5), начиная с − это и , соответственно.

Учитывая, что арифметическая прогрессия, можем записать:

Из равенства (8) и свойства 3 следует, что последовательность (5) является арифметической прогрессией, а из (6) и (7) следует, что разность арифметической прогрессии равно 2d.

Пример 2. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность

и если да, то определить ее разность.

Решение. Запишем последовательность (9) в следующем виде:

,

,

(10)

.

(11)

Поскольку арифметическая прогрессия, то

Из выражений (10)-(12) следует:

Следовательно последовательность (9) является арифметической прогрессией. Далее определим разность арифметической прогрессии (9). Так как разность арифметической прогрессии равна d, то имеем

Из (10), (11) и (13) следует, что разность арифметической прогрессии (9) равна −d.

Пример 3. Найти все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами

.

(14)

Подставляя значения и в последнее равенство, получим

Вычисляем все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для этого докажем, сначала следующее свойство арифметической прогресии:

Свойство 4. Пусть арифметическая прогрессия и пусть натуральные числа и . Тогда .

Доказательство. Пусть d разность прогрессии, тогда

,

.

получим .

Из доказанного свойства следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов.

Действительно. Пусть p и q первый и последний члены конечной арифметической прогрессии и пусть . Тогда . Перепишем равенство (15) так:

Откуда следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов (Рис.2).

Теперь выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов арифметической прогрессии . Запишем два равенства располагая в первом случае все члены арифметической прогрессии в порядке возрастания, а во втором случае в порядке убывания номеров:

Складывая эти равенства, получим

Из свойства 4 следует, что

Формулу (16) можно записать и в другом виде учитывая, что

Рассмотрим примеры применения формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Решение. Запишем формулы 3-го и 14-го членов арифметической прогрессии используя формулу (2):

Сложив эти уравнения, получим:

Запишем далее формулу суммы первых 16 членов арифметической прогресии используя формулу (17):

Далее, из (18) и (19) получим:

Пример 5. Известно, что (x_n) арифметическая прогрессия, в которой x₁=7, x₂₅=63. Найти x₁₃ и сумму членов с тринадцатого до двадцать пятый включительно.

Решение. Запишем фомулу для двадцать пятого члена арифметической прогрессии используя формулу (2):

Подставим значения в (20):

Далее, найдем тринадцатый член арифметической прогресии:

.

Найдем суммы первых двенадцати и первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии:

Сумма членов арифметической прогрессии с тринадцатого до двадцать пятый включительно равна:

Источник

Арифметическая прогрессия: что это такое?

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

Готово! Задача решена.

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

Однако эти равенства можно переписать иначе:

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin & f\left( d \right)=11\left( <^<2>>+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11<^<2>>+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Далее распишем сумму первого, второго и последнего из вставленных чисел:

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

Осталось лишь найти остальные члены:

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Источник