Как найти модуль максимального ускорения автомобиля

Формулы модуля ускорения для прямолинейного и криволинейного движения. Пример решения задачи

В физике существует несколько видов ускорения, которые используются для описания того или иного типа механического перемещения тел в пространстве. Все эти виды являются векторными величинами. В данной статье не будем рассматривать вопрос, куда направлено ускорение, а сосредоточим свое внимание на формулах модуля ускорения.

Что такое ускорение?

Вам будет интересно: Смоленский государственный институт искусств: факультеты, специальности, сроки обучения, документы для поступления

Оно называется мгновенным, то есть справедливым для конкретного момента времени t. Чтобы найти среднее значение модуля ускорения, формулу такую необходимо использовать:

Единицами измерения изучаемой физической величины являются метры в квадратную секунду (м/с2). Многих может смутить возведение во вторую степень единиц времени, тем не менее, понять смысл единицы м/с2 несложно, если ее представить в виде [м/с]/с. Последняя запись означает изменение скорости на одну единицу за одну единицу времени.

Движение по прямой и ускорение

Самой простой траекторией для перемещения тел в пространстве является прямая линия. Если скорость при движении по такой траектории не изменяется, то говорить об ускорении не приходится, поскольку оно будет равно нулю.

В технике широко распространено прямолинейное равноускоренное (равнозамедленное) движение. Например, при старте автомобиля или при его торможении мы имеем именно этот вид движения. Для его математического описания пользуются следующими равенствами:

Как правило, если тело ускоряется, то говорят о положительном ускорении, если же оно замедляет свое движение, то говорят об отрицательной величине a. Нетрудно проверить, что обе формулы приводят к одной и той же единице измерения ускорения (м/с2).

Полное ускорение и его компоненты при движении тела по кривой

В случае перемещения тела по криволинейной траектории, величину a удобно представить в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих. Они называются тангенциальным at и нормальным an ускорениями. Для такого случая формула модуля ускорения точки принимает вид:

Тангенциальную компоненту следует рассчитывать через производную функции v(t) по времени. Нормальная же компонента определяется не изменением модуля скорости, а самой ее величиной. Для ее расчета пользуются таким выражением:

Для полноты информации отметим, что криволинейность траектории перемещения тела является достаточным признаком присутствия ненулевой нормальной составляющей ускорения. При этом величина at может быть равна нулю, что является справедливым для равномерного вращения тел.

Угловое ускорение

Как было отмечено во введении, существуют несколько видов ускорения. Одним из них является угловая кинематическая величина. Обозначим ее α. По аналогии с линейным ускорением, формула модуля ускорения углового имеет вид:

Где греческой буквой ω (омега) обозначена скорость угловая, единицами измерения которой являются радианы в секунду. Величина α показывает, как быстро тело увеличивает или замедляет скорость своего вращения.

Ускорение угловое можно связать с линейной величиной. Делается это с помощью такой формулы:

Важно понимать, что угловое ускорение является удобным способом представления тангенциальной составляющей полного ускорения в случае вращательного движения. Удобство здесь заключается в независимости величины α от расстояния до оси вращения r. В свою очередь, компонента at линейно возрастает при увеличении радиуса кривизны r.

Пример решения задачи

Известно, что тело вращается по окружности, радиус которой составляет 0,2 метра. Вращение является ускоренным, при этом скорость изменяется во времени по следующему закону:

Необходимо определить тангенциальное, нормальное, полное и угловое ускорения в момент времени 3 секунды.

Начнем решать эту задачу по порядку. Тангенциальная компонента определяется через производную скорости. Имеем:

at = dv/dt = 6*t + 6*t2 = 6*3 + 6*9 = 76 м/с2.

Отметим, что это очень большое ускорение по сравнению с ускорением свободного падения (9,81 м/с2).

Нормальная компонента вычисляется так:

an = v2/r = 1/r*(2 + 3*t2 + 2*t3)2 = 1/0,2*(2+27+54)2 = 34445 м/c2.

Теперь можно рассчитать полное ускорение. Оно будет равно:

a = √(at2 + an2) = √(76 2 + 34445 2) = 34445,1 м/с2.

То есть, полное ускорение практически полностью образовано нормальной компонентой.

Наконец, ускорение угловое определяется по формуле:

α = at/r = 76/0,2 = 380 рад/с2.

Полученное значение соответствует увеличению скорости угловой приблизительно на 60 оборотов за каждую секунду.

Источник

Ускорение при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v ₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают ( а ↑↑ v ).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу ( а ↑↓ v ).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Внимательно прочитайте текст задани я и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

Как найти модуль максимального ускорения автомобиля

Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость его скорости от времени.

На каком интервале времени модуль ускорения автомобиля максимален?

На всех рассматриваемых интервалах времени скорость автомобиля меняется равномерно, следовательно, ускорение на каждом интервале постоянно. Все исследуемые интервалы одинаковы по длительности, поэтому максимальному модулю ускорения соответствует максимальный модуль изменения скорости в течение интервала: Из графика видно, что это интервал от 20 до 30 с (в этом случае на других интервалах меньше).

Мне непонятно почему ответ не 4. Ведь автомобиль от 20 до 30 секундах не ускорялся, а тормозил получается, ведь его скорость падала. А в задачи спрашивается модуль ускорения ведь?

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость. Когда скорость тела уменьшается, оно все равно движется с ускорением. Просто в этот момент скорость тела и ускорение направлены противоположно. В данном случае проекция скорости положительна, но уменьшается. Следовательно проекция ускорения отрицательна. Но нас, как Вы правильно заметили, интересует модуль. Так что абсолютный знак нам не важен.

Источник

Как найти модуль максимального ускорения автомобиля

Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Чему равен максимальный модуль ускорения? Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате.

На всех рассматриваемых интервалах времени скорость автомобиля меняется равномерно, следовательно, ускорение на каждом интервале постоянно. Рассчитаем ускорения:

в интервале от 0 до 10 с:

в интервале от 10 до 20 с:

в интервале от 20 до 30 с:

в интервале от 30 до 40 с:

Первый способ решения(для трудолюбивых)

1. Определяем цену деления по осям.

2. Нахожу ускорения на каждом участке:

III-участок: (10-20)/10 =-1

IV-участок: (15-10)/10 =1,5

Второй способ (для продвинутых)

a=tg(альфа), угол >, то и а>

Здравствуйте! Я не очень понимаю, а как определить величину наклона.

Величиной наклона здесь называется параметр, который показывает, насколько быстро увеличивается (или уменьшается) функция. Его можно измерять, например, тангенсом угла наклона графика, тогда это будет в точности ускорение. Но так как здесь не спрашивается величина ускорения, можно просто посмотреть на график и найти на нем участок, где функция изменяется «круче» всего. Это и даст участок с максимальным по модулю ускорением.

Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути S от времени t имеет вид:

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость пройденного телом пути от времени в общем виде имеет вид

Сравнивая с выражением, данным в условии, заключаем, что оно укладывается в это общее правило, а значит тело двигалось равноускоренно. Сопоставляя конкретные члены в выражениях получаем, что начальная скорость равна а ускорение Таким образом, скорость тела в момент времени равна :

vt=t(v0 +(at)/2) делим обе части на t

У Вас ошибка в первой формуле

— это формула для равномерного движения, можно ее с натяжкой использовать и для равноускоренного движения, но тогда под v надо понимать среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (или значение скорости в середине исследуемого промежутка времени). В нашем случае, Вы таким образом получаете скорость в момент времени 1 с.

Лучше всего, запомните закон изменения скорости при равноускоренном движении

А правильно ли будет решить математическим способом:найти производную,а потом подставить вместо t=2?

Дифференциальный анализ придумали физики, чтобы решать приблизительно вот такие вот задачи. Так что спокойно можете использовать свои знания и умения, если Вы уверены в них. Главное — это получить правильный результат, способ его получения не столь важен.

Спасибо за формулу!

Не за что, обращайтесь 🙂

в задаче говорится про прямолинейное движение, а вы описываете равноускоренное. это правильно? объясните пж)

Слово «прямолинейное» означает лишь, что траектория — прямая линия. Двигаться вдоль этой прямой тело может абсолютно произвольно. В данном случае движение равноускоренное.

Спасибо,рассматривая следующую задачу поняла методику их решения

Здравствуйте, а можно ли эту задачу решить, применяя производную?

Здравствуйте, скажите, как нашли a=2 м/с^2?

— общий вид,

— по условию,

значит,

При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид:

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость координаты тела x от времени в общем виде следующая:

Сравнивая с выражением, данным в условии, получаем, что проекция начальной скорости равна а ускорение Таким образом, скорость тела в момент времени равна

Скажите пожалуйста, как вы нашли а? (а=v/t)

Самый просто способ нахождения ускорения по известному закону изменения координаты со временем — описан в решении. Нужно сравнить конкретный закон с общей формулой для равноускоренного движения. Коэффициент при — это половина ускорения.

Если Вы хорошо ориентируетесь в дифференциальном исчислении, то можно поступить следующим образом: ускорение — это вторая производная координаты по времени. Имеем

,

что-то не могу понять никак

Давайте еще раз, более подробно.

Внимательно смотрим на данный нам в задаче закон изменения координаты со временем

Замечаем, что координата квадратично зависит от времени, вспоминаем, что это характерно для движения с постоянным ускорением. Выписываем общую формулу для координаты при таком движении.

Здесь — начальное положение тела в момент времени ; — начальная скорость; — ускорение.

Сравнивая конкретную формулу из условия и общую формулу получаем, что , следовательно, ускорение равно .

Теперь применяем формулу для скорости при равноускоренном движении

Для момента времени имеем:

Он применим для абсолютной любой зависимости координаты тела от времени, даже для случаев, когда тело двигается с переменным ускорением, но для того, чтобы его использовать необходимо: 1) уметь вычислять производные функций; 2) понимать, что скорость тела в некоторый момент времени — это производная координаты по времени в этот момент времени.

Для данной конкретной задачи. Закон изменения координаты имеет вид

Продифференцируем эту функцию по времени и получим функцию, описывающую изменение скорости со временем (штрих обозначает производную по времени)

Поставим в эту формулу момент времени и получим искомую величину.

Пример более сложного случая. Пусть координата изменяется по закону

Тут координата уже кубично зависит от времени, это не равноускоренное движение, ускорение меняется со временем, а значит, первый способ применить нельзя. Воспользуемся вторым

Скорость меняется квадратично со временем. В момент времени она равна

Источник